Đáp án Toán 10 cánh diều C2 bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Đáp án:

Hệ bất phương trình:

Thay x = 1; y = 0 vào 3 bất phương trình của hệ, ta có:

2.1 + 0 = 2 > 0 là mệnh đề đúng; 

1 − 3. 0 = 1 < 6 là mệnh đề đúng; 

1 − 0 = 1 ≥ −4 là mệnh đề đúng.

Vậy (1; 0) là nghiệm chung của 3 bất phương trình nên (1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

II. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Đáp án:

Hệ bất phương trình:

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ 3 đường thẳng:

d₁: 3x – y = – 3;

d₂: – 2x + 3y = 6;

d₃: 2x + y = – 4. 

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình. 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch sọc không kể đường biên trong hình dưới. 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Kiểm tra xem mỗi cặp số...

Đáp án:

1. a) (0; 2), (1; 0)

+ Thay x = 0; y = 2 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

3. 0 + 2. 2 = 4 -6 là mệnh đề đúng; 0 + 4. 2 = 8 > 4 là mệnh đề đúng.

 (0; 2) là nghiệm chung của hai bất phương trình.

Vậy (0; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

+ Thay x = 1; y = 0 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

3. 1 + 2. 0 = 3 -6 là mệnh đề đúng; 1 + 4. 0 = 1 > 4 là mệnh đề sai.

 (1; 0) không là nghiệm chung của hai bất phương trình.

Vậy (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

1. b) (-1; -3), (0; -3)

+ Thay x = -1; y = -3 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

4. (-1) + (-3) = -7 -3 là mệnh đề đúng; -3. (-1) + 5. (-3) = -12 -12 là mệnh đề đúng.

 (-1; -3) là nghiệm chung của hai bất phương trình.

Vậy (-1; -3) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

+ Thay x = 0; y = -3 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

4. 0 + (-3) = -3 -3 là mệnh đề đúng; -3. 0 + 5. (-3) = -15 -12 là mệnh đề sai.

 (0; -3) không là nghiệm chung của hai bất phương trình.

Vậy (0; -3) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài tập 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình...

Đáp án:

1. a)

Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng: 

d₁: x + 2y = −4; 

d₂: y = x + 5.

Do tọa độ điểm O (0; 0) không thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch không chứa điểm O (0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch, bao gồm một phần đường biên d₂, không bao gồm đường biên d₁.

1. b)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 4x – 2y = 8;

d₂: x = 0 là trục tung;

d₃: y = 0 là trục hoành.

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch trên hình bao gồm một phần trục tung, trục hoành và không bao gồm đường thẳng d₁.

Bài tập 3: Miền không bị gạch ở mỗi...

Đáp án:

+ Hình 12a là miền nghiệm của hệ bất phương trình c vì có 3 đường thẳng là: x = 2; y = 1 và x + y = 1.

+ Hình 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình a vì có 3 đường thẳng là: x = −3; y = −1; x + y = 2.

Bài tập 4: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ...

Đáp án:

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: x, y ∈ )

Theo giả thiết, x, y thỏa mãn các điều kiện: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Thời gian làm y chiếc kiểu thứ hai là  (giờ)

Do thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai ⇒ Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất  (giờ)

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên ta có:

 ≤ 8 ⇔ 2x + y ≤ 480

Tổng số tiền lãi là: T = 24x + 15y

Bài toán đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình

    (I) sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.

Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO:

• Tại đỉnh A: T = 24. 0 + 15. 240 = 3 600
• Tại đỉnh C: T = 24. 120 + 15. 240 = 6 480
• Tại đỉnh D: T = 24. 200 + 15. 80 = 6 000
• Tại đỉnh E: T = 24. 200 + 15. 0 = 4 800
• Tại đỉnh O: T = 0

Có 0 < 3 600 < 4 800 < 6 000 < 6 480

 T đạt giá trị lớn nhất bằng 6 480 khi x = 120, y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng hay 6 480 000 đồng.