BÀI 34. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô...

Đáp án: 

• Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C
• M là trung điểm của BC.

AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC (định nghĩa)

• Ta có:

Bài 2: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1...

Đáp án:

Vì G là trọng tâm của ABC (gt)

   hay GB =  NB

Ta có: GN = NB – GB = NB -  NB = NB

 1 =  NB  NB = 3 cm

GB =  NB =  . 3 = 2 (cm).

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường phân...

Đáp án:

Xét tam giác ABC có:

AM là phân giác

BN là phân giác

AM  BN = {I}

 CI cũng là đường phân giác của tam giác. (tính chất đồng quy của 3 đường phân giác).

Bài 2: Chứng minh rằng...

Đáp án:

Vì ΔABC đều  AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)

Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác  I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC.

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của ΔABC

Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của ΔABC

Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 9.20: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến...

Đáp án:

G là trọng tâm của tam giác ABC

=> CG = CP => CG= 2 GP

Tương tự : BG =  BN => BG= 2 GN

Bài 9.21: Chứng minh rằng...

Đáp án:

1. a) Ta có ∆ ABC cân tại A. BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC

∆ ABC cân tại A => AB = AC

Có : AE =  AB. AD=  AC => AE= AD

Xét ∆ ABD và ∆ ACE ta có:  chung

   AE=AD

   AB= AC

=> ∆ ABD  = ∆ ACE => BD= CE

b)

Gọi O là giao điểm của CE và BD

Ta có CE và BD là 2 đường trung tuyến nên O sẽ là trọng tâm của tam giác ∆ ABC 

=> BO =  BD. OD=  BD

      CO=  CE. OE =  CE

      CE= BD=> BO= CO. OD= OE

Xét ∆ EOB và ∆ DOC ta có:

BO = OC

OD = OE

 =  ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ EOB = ∆ DOC => EB= DC

Có EB =  AB

    DC =  AC => AB= AC => ∆ ABC cân tại A

Bài 9.22: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến...

Đáp án:

BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại 

=> G là trọng tâm của tam giác ABC => BG= BM, CG= CN (1)

Xét theo định lí quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác ta có

Trong tam giác GBC:  >  => CG > GB (2)

Từ (1) và (2) => CN > BM

Bài 9.23: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường...

Đáp án:

Có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC

=> AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của 3 góc , , 

 = 120° =>  + = 60°

Ta có :  =  

             =  

=> 2  + 2   = 60°

=>  +    = 30°

Xét trong tam giác IBC ta có:  +    +  = 180°

=>  = 180° - 30°= 150°

Bài 9.24: Gọi BE và CF là hai đường phân giác...

Đáp án:

∆ABC cân tại A  => AB = AC.  =  (1)

BE là đường phân giác của  =>  =   (2)

CF là đường phân giác của  =>  =   (3)

Từ (1), (2), (3) =>  = 

Xét ∆ ABE và ∆ ACF, ta có:  chung

AB= AC

 =  =>  ∆ ABE = ∆ ACF => BE = CF

Bài 9.25: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc...

Đáp án:

1. a) Ta có ∆ BPD và ∆ BRD đều là tam giác vuông tại và 

Xét 2 tam giác vuông là  ∆ BRD và ∆ BPD ta có: Chung cạnh BD

 =  ( BD là phân giác của  hay  )

=> ∆ BRD = ∆ BPD => DR= DP

1. b) Ta có ∆ CPD và ∆ CQD đều là tam giác vuông tại và 

Xét 2 tam giác vuông là  ∆ CPD và ∆ CQD ta có: Chung cạnh CD

 =  ( CD là phân giác của  hay  )

 ∆ CPD = ∆ CQD  DP= DQ

1. c) Từ a và b ta có DR= DQ

Xét 2 tam giác vuông là  ∆ ARD và ∆ AQD ta có:

Chung cạnh AD

DR= DQ ∆ ARD = ∆ AQD   =  

 D nằm trên đường phân giác của