Giáo án NLS Toán 10 kết nối Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1.

+ GV nhấn mạnh hai vectơ trong mỗi cặp đang xét đều chung gốc.

- HS khái quát nêu khái niệm góc giữa hai vectơ.

+ GV chuẩn hóa kiến thức. 

+ GV nhấn mạnh phải thay thế cặp vectơ cần tính góc thành cặp vectơ chung gốc. Khi thay thế, ta có thể dùng các vectơ tương ứng cùng hướng, thay vì bằng nhau.

- GV đặt câu hỏi:

+ Góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị trong đoạn nào?

+ GV giới thiệu về hai vectơ vuông góc nhau.

+ Nhận xét hai góc và ?

().

- HS trả lời Câu hỏi.

- HS đọc Ví dụ 1. GV hướng dẫn HS đưa về hai vectơ chung gốc để xác định góc.

- GV cho HS làm Luyện tập 1. 

+ Yêu cầu HS vẽ thêm vectơ để đưa về hai vectơ chung gốc A hoặc B.

Xác định độ lớn góc giữa hai vectơ.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu tích vô hướng của hai vectơ

- GV chiếu hình ảnh, trở lại với câu hỏi mở đầu bài:

Giới thiệu về công sinh bởi lực, biểu thức đó chính là một tích vô hướng của hai vectơ và .

- HS khái quát về tích vô hướng của hai vectơ, GV chuẩn hóa kiến thức.

- GV nhấn mạnh: tích vô hướng của hai vectơ sẽ cho ra một giá trị là số thực.

- HS trả lời Câu hỏi.

- GV đặt câu hỏi:

+ Nếu hai vectơ và vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vectơ bằng bao nhiêu?

+ Hãy so sánh tích vô hướng với bình phương độ dài của vectơ  . 

Giới thiệu về bình phương vô hướng.

Từ đó HS có các chú ý. Nhấn mạnh: chú ý cách viết: không phải là .

- HS trả lời Câu hỏi.

- HS đọc Ví dụ 2. GV hướng dẫn các bước:

+ Xác định góc giữa hai vectơ.

+ Tính độ dài các cạnh.

+ Sử dụng công thức tính tích vô hướng.

- HS làm Luyện tập 2, GV hướng dẫn:

+ Xác định góc giữa hai vectơ . Sử dụng định lí nào để tính góc đó?

(Góc giữa hai vectơ là góc , sử dụng định lí cô sin tính góc đó trong tam giác ABC).

+ HS áp dung công thức tính.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Góc giữa hai vectơ

HĐ1:

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc CBD và bằng .

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là số đo góc ADB và bằng .

Kết luận:

Cho hai vectơ và khác Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ và . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và hay đơn giản là góc giữa hai vectơ kí hiệu là ( ).

Chú ý:

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị tùy ý từ   đến .

+ Nếu ( )= thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc .

Đặc biệt, được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Câu hỏi:

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1 (SGK -tr66)

Luyện tập 1:

Vẽ , khi đó ADBC là hình bình hành

Do AD//BC nên ta có:

Vậy

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không và là một số, kí hiệu là được xác định bởi công thức sau:

.

Câu hỏi:

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

Chú ý:

+)

+) còn được viết là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Ta có .

Câu hỏi:

Nên thì , hay là cùng phương.

Ví dụ 2 (SGK-tr67)

Luyện tập 2:

Theo định lí cô sin, ta có:

Từ đó:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trao đổi, thảo luận, đọc hiểu Ví dụ 4. GV hướng dẫn, giảng giải.

+ Bài toán có hai chiều: 

Nếu thì .

Nếu thì .

+ Để chứng minh bài toán ta sử dụng phép biến đổi tương đương.

+ khi nào?

+ Sử dụng phép biến đổi tương đương với tích với quy tắc ba điểm, để làm xuất hiện các tích chứa BP và CQ.

- GV nhấn mạnh: Nếu không có công cụ vectơ hoặc hệ thức lượng trong tam giác, lời giải cho bài toán hình học trên là khó.

- HS làm Luyện tập 4. GV gợi ý:

+ b) Gọi tọa độ điểm H(x; y), sử dụng tính chất vừa chứng minh ở a, hãy viết hệ phương trình ẩn x, y. Rồi giải hệ phương trình, tìm x, y.

+ c) Ta phải tìm các yếu tố của tam giác ABC? Nêu cách tính 

(Tìm độ dài 3 cạnh bằng công thức tính độ dài theo tọa độ.

Tính góc theo định lí côsin).

- HS thực hiện nhóm 4 theo phương pháp khăn trải bàn làm Vận dụng. GV gợi ý:

+ a) Hãy viết công thức tính công sinh bởi các lực và lưc

+ b) Nếu vuông góc với phương chuyển động thì công bằng bao nhiêu. Tương tự tính công sinh bởi lực . Rồi tính công sinh bởi lực .

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Ví dụ 4 (SGK-tr69)

Luyện tập 4:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên 

Suy ra:

b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

Ta có: nên:

Vậy H(6; 2)

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

Vận dụng:

a) Công sinh bởi lực bằng: (1)

Công sinh bởi lực bằng (2)

Công sinh bởi lực bằng: 

(3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và .

b) Vì có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực bằng . Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực bằng:

Do đó công sinh bởi lực bằng công sinh bởi lực