BÀI 12 ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Làm thế nào để tìm được số lớn nhất vừa là ước của 504, vừa là ước của 588?

1. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
2. ƯỚC CHUNG

Thảo luận nhóm (3 phút)

1. a) Một nhóm học sinh gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ đi dã ngoại. Có bao nhiêu cách chia nhóm, mỗi nhóm từ hai bạn trở lên sao cho số bạn nam ở mỗi nhóm bằng nhau, số bạn nữ ở mỗi nhóm cũng bằng nhau.

Giải

1. a) Có 3 cáchchia nhóm

• Cách 1:Chia 1 nhóm gồm 12 nam và 8 nữ.
• Cách 2:Chia 2 nhóm, mỗi nhóm 6 nam, 4 nữ.
• Cách 3:Chia 4 nhóm, mỗi nhóm 3 nam, 2 nữ.

1. b) Viết tập Ư(18), Ư(30).

Liệt kê các phần tử chung của hai tập hợp này.

1. b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

    Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

    Các phần tử chung là: 1; 2; 3; 6.

Kiến thức trọng tậm

• Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.
• Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

     x Î ƯC(a, b) nếu a⁝x và b⁝x.

• Tập hợp các ước chung của ba số a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

     x Î ƯC(a, b, c) nếu a⁝x, b⁝x và c⁝x.

Ví dụ 1: Ta có:

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12};

Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

à ƯC(12, 20) = {1; 2; 4}

* Thực hành:

Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

1. a) 6 Î ƯC(24, 30)
2. b) 6 ÎƯC(28, 42)
3. c) 6 Î ƯC(18, 24, 42)

Đáp án

1. Đ

b, S

c, Đ

* Kiến thức trọng tâm

Cách tìm ước chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và ước của b: Ư(a), Ư(b).

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

* Thực hành 2:

Tìm ước chung của :

1. a) 36 và 45 b) 18, 36 và 45

Giải

1. a) Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

=> ƯC(36, 45) = {1; 3; 9}

1. b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

=> ƯC(18, 36, 45) = {1; 3; 9}

1. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Một chi đội gồm 18 học sinh nam và 30 học sinh nữ muốn lập thành các đội tham gia hội diễn văn nghệ sao cho tiết mục của các đội khác nhau và mỗi bạn chỉ tham gia một đội, số nam trong các đội bằng nhau và số nữ cũng vậy. Có thể biểu diễn được nhiều nhất bao nhiêu tiết mục văn nghệ?

Giải

Do số nam trong các đội bằng nhau và số nữ cũng bằng nhau, nên số đội nam (cũng là số đội nữ) là ước chung của 18 và 30.

    ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}

Để có thể biểu diễn được nhiều nhất số tiết mục văn nghệ thì số đội nhiều nhất là 6 đội.

Kiến thức trọng tậm

• Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Nhận xét:

Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ:

ƯC(36, 45) = {1; 3; 9}

• ƯCLN(36, 45) = 9

Và 1; 3; 9 đều là ước của 9

Nhận xét:

Với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1

ƯCLN(a, b, 1) = 1

Ví dụ:

ƯCLN(18, 1) = 1

ƯCLN(18, 15, 1) = 1

Thực hành 3: Viết ƯC(24, 30) và từ đó chỉ ra ƯCLN(24, 30).

Giải

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư(30) = {1; 2; 5; 6; 15; 30}

ƯC(24, 30) = {1; 2; 6}

=> ƯCLN(24, 30) = 6

Ví dụ:

Các bạn học sinh lớp 6A đang lên kế hoạch tham gia một hoạt động làm sạch môi trường ở địa phương. Cả lớp có 12 bạn nữ và 18 bạn nam. Các bạn muốn chia lớp thành các nhóm nhỏ gồm cả nam và nữ sao cho số bạn nam và số bạn nữ được chia đều vào các nhóm. Có thể chia nhiều nhất bao nhiều nhất bao nhiêu nhóm học sinh? Khi đó, mỗi nhóm có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ?

Giải

Số nhóm được chia nhiều nhất phải là ước của cả 12 và 18.

Số nhóm được chia phải là nhiều nhất có thể.

Vì vậy số nhóm được chia là ước chung lớn nhất của 12 và 18.

ƯCLN(12, 18) = 6.  Vậy chia được nhiều nhất là 6 nhóm.

Số học sinh nữ trong mỗi nhóm: 12 : 6 = 2 (học sinh).

Số học sinh nam trong mỗi nhóm: 18 : 6 = 3 (học sinh).

Số 504 có 24 ước, trong khi số 588 có 18 ước. Vì vậy, nếu dùng phương pháp liệt kê các ước của hai số 504 và 588 rồi chọn ước chung lớn nhất sẽ gặp nhiều khó khăn. Vậy có cách nào đơn giản hơn để tìm ƯCLN của 504 và 588 không?

III. TÌM ƯCLN BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

* Quy tắc

• Muốn tìm số ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện 3 bước sau:
• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(18, 30).

Giải

Ta có: 18 = 2 . 3²; 30 = 2 . 3 . 5

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

=> ƯCLN(18, 30) = 2 . 3 = 6

Thực hành 4

Tìm ƯCLN(24, 60); ƯCLN(14, 33); ƯCLN(90, 135, 270).

Giải

Ta có: 24 = 2³ . 3;

60 = 2² . 3 . 5

ƯCLN(18, 30)

= 2² . 3 = 12

Ta có: 14 = 2 . 7;

33 = 3 . 11

ƯCLN(14, 33) = 1

Ta có: 90 = 2 . 3² . 5;

135 = 3³ . 5;

270 = 2 . 3³ . 5

ƯCLN(90, 135, 270)

= 3² . 5 = 45

* Kiến thức trọng tâm

• Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
• Ví dụ:

ƯCLN(14, 33) = 1 nên 14 và 33 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

1. ỨNG DỤNG TRONG RÚT GỌN PHÂN SỐ

Đọc SGK và trả lời câu hỏi

Câu hỏi 1

Phân số tối giản là thế nào?

Câu hỏi 2

Cách rút gọn để được phân số tối giản.

  Khi rút gọn phân số thì ta chia cả tử số và mẫu số cho một ước chung của chúng để được một phân số mới bằng phân số ban đầu. Cứ tiếp tục quy trình đó đến khi không rút gọn được nữa, tức là đến khi tử số và mẫu số của chúng không có ước chung nào khác 1.

Khi đó ta được một phân số tối giản.

Chú ý:

Để rút gọn một phân số, ta có thể chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ước chung lớn nhất của chúng để được phân số tối giản.

Thực hành 5: Rút gọn các phân số sau:

Giải

1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

* Trò chơi hộp quà bí mật

1. Ước chung lớn nhất của 8 và 20 là:

ƯCLN(8, 20) = 4

2. Các ước chung của 24 và 36 là:

ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

3. Ước chung lớn nhất của 16, 40 và 176 là:

ƯCLN(16, 40, 176) = 8

4. Phân số tối giản của phân số là:

Phân số  

5. So sánh hai phân số và .

 =  

6. Tìm phân số tối giản của phân số .

Phân số  

7. Ước chung lớn nhất của 90, 135 và 270 là:

ƯCLN(90, 135, 270) = 45

8. Biết ƯCLN(180, 234) = 18.

Tìm ước chung của 180 và 124.

ƯC(180, 234) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

1. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Bài 5 (SGK – tr.39): Chị Lan có ba đoạn dây ruy băng màu khác nhau với độ dài lần lượt là 140 cm, 168 cm và 210 cm. Chị muốn cắt cả ba đoạn đây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiêu dài đề làm nơ trang trí mà không bị thừa ruy băng. Tính độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn đây ngắn được cắt ra (độ đài mỗi đoạn dây ngắn là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét).

Khi đó, chị Lan có được bao nhiêu đoạn dây ruy băng ngắn?

Giải

- Mỗi đoạn dây khác nhau có thể cắt được số đoạn dây ngắn là:

Đoạn dây dài 140 cm cắt được: 140 : 14 = 10 (đoạn).

Đoạn dây dài 168 cm cắt được: 168 : 14 = 12 (đoạn).

Đoạn dây dài 210 cm cắt được: 210 : 14 = 15 (đoạn).

- Số đoạn dây nuy băng ngắn chị Lan có được là:

10 + 12 + 15 = 37 (đoạn dây).

Vậy chị Lan có được tổng cộng 37 đoạn dây nuy băng ngắn sau khi cắt.

* Nhiệm vụ về nhà

Ôn lại nội dung kiến thức đã học trong bài

Làm tiếp các bài tập còn lại trong SGK

Đọc và tìm hiểu mục “Có thể em chưa biết”.

Tìm hiểu trước bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất