BÀI 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Có cách nào tìm được mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số không?

Ví dụ: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số:  và .

1. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
2. ƯỚC CHUNG
3. a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể. 

1. a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ giây đầu tiên.

Giải

=> Sau 12 giây thì hai dây đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ lần đầu tiên.

1. b) Viết các tập B(2), B(3). Chỉ ra ba phần tử chung của hai tập hợp này.

Giải

Ta có:

• B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; …}
• B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; …}

Ba phần tử chung (khác 0) của hai tập hợp này là: 6; 12; 18.

* Kiến thức trọng tâm

Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội của tất cả các số đó.

Ví dụ 1:

Ta có: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36….}

           B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36….}

=> Bội chung của 4 và 6 là: 0; 12; 24; 36;…

Kí hiệu:

• Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).
• Tập hợp các bội chung của a, b và c là BC(a, b, c).

Thực hành 1:

Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Giải thích.

1. 20 ∈BC(4, 10);
2. 36 ∈BC(14, 18);
3. 72 ∈ BC(12, 18, 36).

TL:

1. Đ
2. S
3. Đ

Câu hỏi: Cách tìm bội chung của hai số a và b

+ Viết tập hợp B(a),  và B(b).

+ Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ 2: Tìm BC(6, 8)

Giải

Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;….}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}

=> BC(6, 8) = {0; 24; 48;…}

* Thực hành 2

Thảo luận nhóm đôi (3 phút)

Hãy viết:

1. a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).
2. b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.
3. c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

Giải

1. a) Các tập hợp:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}

1. b) Ta có: BC(3, 4) = {0; 12; 24; 36; 48; …}

Vì M là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và là bội chung của 3 và 4 nên ta có:

M = {0; 12; 24; 36; 48}.

1. c) Ta có: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; 72; …}

Vì tập hợp K gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8 nên ta có:

K = {0; 24; 48}.

1. ƯỚC CHUNG NHỎ NHẤT

Thảo luận nhóm (3 phút)

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3, 4 và 8.

Giải

BC(6, 8).

• Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}

=> BC(6, 8) = {0; 24; 48…}

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8) là 24.

• Nhận xét:Các bội chung của 6 và 8 cũng là bội của 24.

BC(3, 4, 8).

• Ta có:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}

• BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; …}

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8) là 24.

• Nhận xét:Các bội chung của 3, 4 và 8 cũng là bội của 24.

* Kiến thức trọng tâm

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b) và bội chung nhỏ nhất của a, b và c là BCNN(a, b, c).

Nhận xét

• Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b). Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
• Do đó, với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có:
• BCNN(a, 1) = a,
• BCNNG(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Ví dụ 3:

1. a) Ta có: BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36; ...}

Vì 12 là số nhỏ nhất khác 0 trong số các bội chung của 4 và 6, nên BCNN(4, 6) = 12.

Tất cả các bội chung của 4 và 6 (là 0; 12; 24; 36; ...) đều là bội của BCNN(4, 6) (là 12).

1. b) BCNN(6, 1) = 6;
2. c) BCNN(4, 6, 1) = BCNN(4, 6) = 12.

Ví dụ 4: Một lớp có không quá 42 học sinh. Nếu xếp hàng 4 hoặc hàng 6 thì vừa đủ. Nếu xếp hàng 5 thì thừa 1 em. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?

Giải

Số học sinh của lớp đó là bội chung của 4 và 6.

Ta có BCNN(4, 6) = 12 nên BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36; 48;...}.

Vì số học sinh của lớp đó không quá 42 và là một số chia cho 5 dư 1 nên lớp đó có 36 học sinh.

Thực hành 3: Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Giải

Ta có: 

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}

B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …}

Do đó: BC(4, 7) = {0; 28; 56; …}

Trong các bội chung của 4 và 7 thì 28 là số nhỏ nhất khác 0 nên BCNN(4, 7) = 28.

Ta có ƯCLN(4, 7) = 1 nên 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

III. TÌM BCNN BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Quy tắc: Muốn tìm số BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện 3 bước sau:

• Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
• Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ 5: Tìm BCN(12, 90, 150)

Giải

• Ta có: 12 = 2² . 3; 90 = 2 . 3² . 5; 150 = 2 . 3 . 5²
• Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5.
• Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2² . 3² . 5²
• Vậy BCNN(12, 90, 150) = 2² . 3² . 5² = 900.

Thực hành 4

BCNN(24, 30);

24 = 2³ . 3;

30 = 2 . 3 . 5

BCNN(24, 30) = 2³ . 3 . 5 = 120

BCNN(3, 7, 8);

3 = 1 . 3;

7 = 1 . 7;

8 = 1. 2³

BCNN(3, 7, 8) = 2³ . 3. 7 = 168

BCNN(12, 16, 48)

12 = 2² . 3;

16 = 2⁴;

48 = 2⁴ . 3

BCNN(12, 16, 48) = 2⁴ . 3 = 48

Chú ý:

• Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. Ví dụ: BCNN(3, 7, 8) = 3 . 7 . 8 = 168.
• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấ Ví dụ: BCNN(12, 16, 48) = 48.

* Thực hành 5

Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30).

 Vì 2, 5, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó BCNN của chúng là tích của các số đó. Do đó:

BCNN(2, 5, 9) = 2 . 5 . 9

                        = 90.

Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên 30 là bội của 10 và 15. Do đó:

BCNN(10, 15, 30) = 30 

1. ỨNG DỤNG TRONG QUY ĐỒNG MẪU SỐ CÁC PHÂN SỐ

Quy tắc

• Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta làm như sau:

Bước 1:

Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) đề làm mẫu số chung.

Bước 2:

Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu Số riêng).

Bước 3:

Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng..

Ví dụ 6: Ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số  và  theo hai cách như sau:

Cách 1:

Ta có: 48 là một bội chung của 6 và 8;

48 : 6 = 8; 48 : 8 = 6.

Do đó:  =  =

            =  =

Cách 2

Ta có: BCNN(6, 8) = 24

24 : 6 = 4; 24 : 8 = 3.

Do đó:  =  =

            =  =

* Thực hành 6

1) Quy đồng mẫu các phân số sau:

1. a) và

TL:

Có BCNN (12, 30) = 60

  ;  

1. b) , và

Có BCNN (2, 5, 8) = 40

   ;  

Thực hành 6:

2) Thực hiện các phép tính sau:

1. a) +

TL:

BCNN (6, 8) = 24

1. b) -

BCNN(24, 30) = 120

1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Bài 1 (SGK – tr43): Tìm

1. a) BC(6, 14);
2. b) BC(6, 20, 30);
3. c) BCNN(1, 6);
4. d) BCNN(10, 1, 12);
5. e) BCNN(5, 14).

TL:

a.

6 = 2 . 3; 14 = 2 . 7

=> BCNN(6, 14) = 2 . 3 . 7 = 42

=> BC(6, 14) = {0; 42; 84; 126;…}.

b.

6 = 2 . 3; 20 = 2² . 5; 30 = 2. 3. 5

=> BCNN(6, 20, 30) = 2² . 3 . 5

                               = 60

=> BC(6, 20, 30) = {0; 60; 120; 180; 240;…}.

c.

Hai số 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(1, 6) = 6.

d.

Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 2² . 3

=> BCNN(10, 1, 12) = 2² . 3 . 5     

                                = 60.

Hai số 7 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau

=> BCNN(5, 14) = 5 . 14 = 70

Bải 2:

48. a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp A.
49. b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:
50. 124 và 30; ii. 42 và 60;

iii. 60 và 50;                      iv. 28 và 35.

Giải

1. a) Các bội của 48 là 0, 48, 96, 144, 196,…

Do đó: A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

BC(12, 16) = {0; 48; 96; 144; 192;…}

* Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

2. i) BC(24, 30);

24 = 2³ . 3; 30= 2 ^. 3 . 5

BCNN(24, 36) = 2³ . 3 . 5 = 120

BC(24, 36) = B(120)

                  = {0; 120; 240; 360;…}.

1. ii) BCNN(42, 60);

42 = 2 . 3 . 7; 60 = 2² . 3 . 5

BCNN(42, 60) = 2² . 3 . 5 . 7 = 420

BC(42, 60) = B(420)

                  = {0; 420; 840; 1260;…}.

iii. BC(60, 50);

60 = 2² . 3 . 5; 150 = 2 . 3 . 5²

BCNN(60, 150) = 2² . 3 . 5² = 300

BC(60, 150) = B(300)

                    = {0; 300; 600; 900;…}.

1. BC(28, 35).

28 = 2² . 7;  35 = 5 . 7

BCNN(28, 35) = 2² . 5 . 7 = 140

BC(28, 35) = B(140)

                   = {0; 140; 280; 420;…}.

Bài tập 4 (SGK – tr44): Thực hiện các phép tính (có sử dụng BCNN):

a, ;         b)           c) ;          d)                                             

Giải

1. a) Có: BCNN (15, 10) = 30        

1. b) Có: BCNN (6, 9, 12) = 36

1. c) Có: BCNN (24, 21) = 168

1. d) Có: BCNN (36, 24) = 72

1. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Thảo luận nhóm hoàn thành bài tập 5 (SGK – tr44)

Chị Hòa có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết. Hỏi chị Hòa có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Giải

Gọi Số bông sen chị Hòa có là: x ( bông, x  N^*, 200  x  300)

Theo bài ra => x  BC (3, 5, 7)

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau

=> BCNN(3, 5, 7) = 3 . 5 . 7 = 105

=> x BC(3, 5, 7) = {0; 105; 210; 315; …}

Mà 200  x  300 => x = 210

Vậy số bông sen chị Hòa có 210 bông.

* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Học bài và làm các bài tập 6, 7, 8 (SBT- 35, 36).

Đọc và chuẩn bị trước bài 14: Hoạt động thực hành và trải nghiệm.

Mỗi HS chuẩn bị 1 HCN có chiều dài 28 cm, chiều rộng 16cm; thước kẻ, bút chì màu.