Giáo án ôn tập Toán 9 bài: Giải toán bằng cách lập phương trình

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ

- GV gọi HS đứng dậy, đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết:

+ HS1: Trình bày các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

+ HS2: Nêu một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải.

*Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Bước 3. Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày yêu cầu của GV đưa ra.

* Bước 4. Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lâp hệ phương trình:

Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thich hợp cho chúng.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết trong bài toán theo ẩn (chú ý đơn Ví)

Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bải toán để lập hệ phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả nghiệm của hệ phương trình với điều kiện bài toán. Kết luận, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số.

2. Một số dạng toán thường gặp:
a. Dạng 1. Bài toán Chuyển động

Dựa vào các đại lượng: quãng đường (s), vận tốc (v), và thời gian (t) của vật trong công thức: ;

+ Chú ý xem vật chuyển động cùng chiều, ngược chiều, hay chuyển động xuôi ngược, xuất phát trước hay xuất phát sau, có thay đổi Vận tốc trên đường đi hay không...

+ Cần chọn mốc thời gian, chọn chiều dương của chuyện động.

+ Dựa vào nguyên lý công vận tốc:
Ví dụ khi giải bài toán chuyển động của thuyền trên sông, đạp xe ngược gió, xuôi gió. Khi đó ta có:

v_{xuôi dòng} = v_{dòng nước} + v_thực và v_{ngược dòng} = v_thực- v_{dòng nước}
b. Dạng 2. Bài toán liên quan đến Số học

Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng (đơn vị) trong một số.
Biểu diễn số có hai chữ số:  với
Biểu diễn số có ba chữ số:  với

+ Tổng hai số  là :
+ Tổng bình phương hai số  là :

+ Bình phương của tổng hai số  là :

+ Tổng nghịch đào hai số  là :

c) Dạng 3: Năng suất- Bài toán dân số- Lãi suất ngân hàng:

+ Tỉ lệ phần trăm:

+ Tỉ lệ tăng dân số: Nếu A là số dân ban đầu, ti lệ gia tăng dân số là x%.

·      Sau 1 năm số dân là:

·      Sau  năm số dân là :

+ Lãi suất ngân hàng: Nếu ban đầu bạn vay (hoặc mượn) số tiền  với lãi suất .

·      Sau 1 chu kỳ (thường là năm/tháng) số tiền cả gốc lẫn lãi là :

·      Sau n chu kỳ (thường là năm/tháng) số tiền cả gốc lẫn lãi là :

d. Dạng 4. Bài toán về Công việc làm chung, làm riêng - Vòi nước chảy chung chảy riêng (quy về đơn vị)

+ Sản lượng = Năng suất  Thời gian.

+ Xem toàn bộ công việc là .

+ Làm riêng trong  ngày thì xong Việc, suy ra: Năng suất một ngày làm được  công Việc.

+ Khi hai người làm chung thì sau n ngày sẽ xong Việc, thì năng suất làm Việc một ngày của hai người là:

+ Khi hai người này làm riêng:
Người thứ nhất làm xong trong  ngảy, nên năng suất làm Việc của người thứ nhất trong một ngày là: .
Người thứ hai làm xong trong  ngày, nên năng suất làm Việc của người thứ hai trong một ngày lả: .
Do đó, ta có:

e. Dạng 5. Bài toán có liên quan đến nội dung hình học

·      Diện tích tam giác:  (x là cạnh đáy, y là đường cao).

·      Diện tích tam giác vuông:  với x và y là độ dài hai cạnh góc vuông. Độ dài cạnh huyền:  (  là độ dài cạnh huyền)

·      Diện tích hình chữ nhật:  (  là chiều rộng,  là chiều dài)

·      Diện tích hình vuông:  (x là độ dài cạnh hình vuông)

·      Diện tích hình thang:  (  là độ dài đáy bé,  là độ dài đáy lớn, h là chiều cao hình thang).

·      Đa giác có  đỉnh thì có số đường chéo là:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1. Một ô tô đi từ  và dự định đến  lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc  thì sẽ đến  chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc  thì sẽ đến  sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường  và thời điểm xuất phát của ô tô tại .

Bài 2. Hai người ở hai địa điểm  và  cách nhau  khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là . Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài 3: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài  rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng  rồi ngược dòng  thì hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.
Bài 4. Một ô tô đi quãng đường  với vận tốc , rồi đi tiếp quãng đường  với vận tốc . Biết tổng chiều dài quãng đường  và  là  và thời gian ô tô đi quãng đường  it hơn thời gian ô tô đi quãng đường  là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường  và .
Bài 5: Quãng đường  gồm một đoạn lên dốc dài , đoạn xuống dốc dài . Một người đi xe đạp từ  đến  mất 40 phút và đi từ  về  mất 41 phút. Biết vận tốc lên dốc và xuống dốc là không đổi. Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.

Bài 6. Một ô tô đi từ  đến  với vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm  thì thời gian giảm được 1 giờ. Nếu vận tốc giảm  thì thời gian tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc của ôtô.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

Phân tích đề: Trong đề này, chúng ta cần chú ý đến câu hỏi tính độ dài quãng đường và thời gian đi (thời điểm xuất phát). Do đó, ta sẽ đặt ẩn là hai đại lượng này.

Dựa vào mối tương quan vận tốc, thời gian đi, ta sẽ suy ra các phương trình cần tìm.

Giải:
Gọi  là độ dài quãng đường
Gọi  (h) là thời gian đi từ  đến  theo dự định
Nếu xe chạy với vận tốc , thì sẽ đến  chậm 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:  (1)

Nếu xe chạy với vận tốc , thì sẽ đến  sơm 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình:  (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
 :  Quãng đường  dài :
Thời điểm ô tô xuất phát tại  là :  giờ sáng.

Bài 2.

Phân tích đề:
Đổi đơn vị: 6 phút  giờ .
Khi khởi hành cùng lúc:

Khi người đi chậm hơn (B) xuất phát trước:

Bàng phân tích tóm tắt:

Giải:

Gọi  là vận tốc của người đi tử
Gọi  là vận tốc của người đi tử
Khi hai người xuất phát cùng lúc, gặp nhau tại địa điểm cách , ta có:
Thời gian người  đi từ lúc 2 người xuất phát đến khi gặp nhau là :  giờ
Thởi gian người B đi từ lúc 2 người xuất phát đến khi gặp nhau là :  giờ
Vì thời gian hai người đi là như nhau nên ta có phương trình:  (1)
Ví xuất phát cùng lúc, nhưng người  đi quãng đường ngắn hơn nên suy ra vận tốc của  nhỏ hơn  : .

Khi người đi từ  xuất phát trước 6 phút  giờ, thì hai người găp nhau tại điềm chính giữa quãng đường cách  và B 1,8 km, ta có:
Thời gian người  đi từ lúc  xuất phát đến khi gắp nhau là :  giờ
Thời gian người  đi từ lúc  xuất phát đến khi gặp nhau là :  giờ
Do B xuất phát trước 6 phút nên ta có phương trình: (2)
Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
 : Vận tốc của người xuất phát từ  là :
Vận tốc của người xuất phát tử  là : .

Bài 3.

Gọi  là vận tốc thực của canô
Gọi  là vận tốc của dòng nước.
Vận tốc của canô khi xuôi dòng là:
Vận tốc của canô khi ngược dòng là:
Đổi đơn vị: 2 giờ 30 phút  giờ và 1 giờ 20 phút  giờ.

Khi canô xuôi dòng một quãng sông dài  rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút:
Canô xuôi dỏng  nên thời gian xuôi dòng lả:  giờ
Canô ngược dòng  nên thời gian ngược dòng là:  giờ
Nên ta có phương trình:  (1)

Khi ca nô xuôi dòng  rồi ngược dòng  thì hết 1 giờ 20 phút:
Canô xuôi dòng  nên thời gian xuôi dòng là:  giờ
Canô ngược dòng  nên thời gian ngược dòng là:  giờ
Nên ta có phương trình:  (2)
Giải hệ phương trình ta được:  

KL: Vận tốc thực của canô là  

Vận tốc thực của dòng nước là  

Bài 4.

Gọi  (h) là thời gian ô tô đi quãng đường
Gọi  là thời gian ô tô đi quãng đường
Quãng đường  có độ dải :
Quãng đường  có độ dài :
Theo đề bải, ta có tổng quãng đường  và  dài , nên ta có phương trình :  (1)

Thời gian ô tô đi quãng đường  it hơn thời gian ô tô đi quãng đường  là 30 phút, ta có:
(2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:  

Giải hệ phương trình ta được:
KL: Thời gian để ô tô đi hết quãng đường  lả : 1,5 giờ

Thời gian để ô tô đi hết quãng đường  là : 2 giờ.

Bài 5.

Đổi: 40 phút  giờ, và 41 phút  giờ
Gọi  là vận tốc lên dốc của xe
Gọi y  là vận tốc xuống dốc của xe
Khi đi tử  đến  : đọan lên dốc dài , xuống dốc dài .
Thời gian đi đoạn lên dốc là :  giờ
Thời gian đi đoạn xuống dốc là :  giờ
Tổng thời gian đi tử  đến  là 40 phút, ta có  (1)
Khi đi tử  về  : đoạn lên dốc dài , xuống dốc dài .
Thời gian đi đoạn lên dốc là :  giờ
Thời gian đi đoạn xuống dốc là :  giờ
Tổng thời gian đi tử  về  là 41 phút, ta có:

 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vận tốc của xe khi lên dốc là :
Vận tốc của xe khi xuống dốc là : .

Bài 6.

Gọi  là vận tốc ban đầu của ô tô
Gọi y (giờ) là thời gian đi đoạn đường  theo dự định.
Độ dài quãng đường  là:

Khi vận tốc tăng thêm  thì đến  sớm hơn 1 giờ, nên ta có phương trình:

Khi vận tốc giảm  thì đến  muộn hơn 1 giờ, nên ta có phương trình:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là:
KL: Vận tốc ban đầu của ô tô là:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rẳng hai lần chữ số Hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một đơn vị, và nếu biết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

Bài 2. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chổ 2 chữ số của nó thì được một số lớn hơn chữ số đã cho là 63 . Tồng của số đã cho và số mới là 99 . Tìm số đã cho.

Bài 3. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số là 16 . Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số mới, lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.

Bài 4. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì được số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị.

Bài 5. Số tiển mua 9 quả cam và 8 quả táo rừng lả 107 nghin. Số tiền mua 7 quả cam và 7 quả táo rửng là 91 nghìn. Hỏi giá mỗi quả cam và mỗi quả táo rừng là bao nhiêu?

Bài 6. Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.
Bảng phân tích tóm tắt:

Giải:
Gọi  là chữ số hàng chục của số ban đầu
Gọi y là chữ số hàng đơn vị của số ban đầu
Số ban đầu có dạng là:
Khi đổi chỗ hai chữ số, ta có số mới :
Theo bài ra, ta có hề phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy số cần tìm ban đầu là: 74 .
Bài 2.

Cách
Do khi đổi chổ 2 chữ số của số cần tìm ta được số mới lớn hơn, nên:
Gọi số cần tìm là ; số mới khi đổi chổ hai chữ số là  với
Khi đó:  và
Số mới lớn hơn số ban đầu là 63 đơn vị nên ta có phương trình:

Tổng của số đã cho và số mới là 99 :

Suy ra, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có nghiệm:
Vậy số ban đầu cần tìm là : 18 .
Cách 2:
Gọi số cần tìm là , và  là số mới sau khi đổi chỗ  và  không chứa chữ số 0 )
Số mới lớn hơn số ban đầu 63 đơn vị:  (1)
Tổng của hai số là 99:  (2)
Ta có hệ phương trình :
Vậy, số cần tìm là 18 .

Bài 3.

Gọi x, y là hai số tự nhiên cần tìm
Tổng của chúng bằng 1006:  (1)
Số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và số dư là 124:  (2)
Ta có hệ phương trình :
Vậy, hai số cần tìm là 712 và

Bài 4.

- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng:

- theo bài ra, ta có:

Bài 5.

Gọi  (nghìn) là giá tiền của một quả cam và  (nghìn) lả giá tiền của một quả táo rừng .
Mua 9 quả cam và 8 quả táo rừng hết 107 nghìn:  (1)
Mua 7 quả cam và 7 quả táo rừng là 91 nghin:  (2)
Ta có hệ phương trình :  (thoả điều kiện)
Vậy, giá của mỗi quả cam là 3 nghin một quả, giá của mỗi quả táo rừng là 10 nghìn một quả.

Bài 6.

Gọi x (tuổi) là số tuổi của mẹ trong năm nay, và y là số tuổi của con trong năm nay .
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con:  (1)
7 năm trước tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con cộng thêm  (2)
Ta có hệ phương trình :  (thoả điều kiện)
Vậy, năm nay tuổi của mẹ là 36 tuồi, tuổi của con là 12 tuổi.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

Bài 1. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức , đơn vị thứ hai làm vượt mức  so với năm ngoái. Do đó cả 2 đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hôi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc.

Bài 2: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 720 sản phẩm. Tuy nhiên xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 15%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 12% do đó hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 819 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

Bài 3: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng công 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức  đối với loại hàng thứ nhất và  đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là  đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng công 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng.

Bài 4: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tồng công 360 công cụ. Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức  kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức  kế hoạch. Do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ. Tính số công cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

Bài 5: Bác An vay  của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11881000 vnđ. Hỏi lãi suất cho vay một năm là bao nhiêu phần trăm ?

Bài 6: Dân số của thành phố Hà Nội sau hai năm từ 2.000.000 thành 2.048.288 người. Tính xem hằng năm dân số trung bình tăng bao nhiêu phần trăm? Biết ti lệ gia tăng dân số hàng năm không thay đổi.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1. Gọi x (tấn) là số thóc thu hoạch được của đơn vị thứ nhất trong năm ngoái, và  (tấn) là số thóc thu hoạch được của đơn vị thứ hai trong năm ngoái

Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 720 tấn thóc, nên ta có phương trình:  (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức , đơn vị thứ hai làm vượt mức  so với năm ngoái:

Số thóc thu hoạch được của đội thứ nhất là:

Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai lả:

Tổng số thóc thu được là 819:  (2)
Ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được nghiệm duy nhất:  (thoả mãn điều kiện)
Vậy, năm ngoái đội thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 300 tấn thóc.
Bài 2.

Gọi x, y là số sản phẩm lần lượt của xí nghiệp I và xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch
Theo giả thiết:  và
Ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được nghiệm duy nhất:
Vậy theo kế hoạch, xí nghiệp I phải làm 420 sản phẩn, xí nghiệp II phải làm 300 sản phẩm.

Bài 3.

Gọi  là số tiền phải trả cho mỗi loại hảng khi chưa tính thuế VAT

Khi tính thuế  đối với loại hảng thứ nhất và  đối với loại hàng thứ hai người đó phải trả 2,17 triệu đồng:

Số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất là:

Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai là:

Tổng số tiền phải trả là 2,17 triệu đồng:  (1)

Khi tính thuế là  đối với cả hai loại hàng người đó phải trả 2,18 triệu đồng:

Số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất là:

Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai là:

Tồng số tiền phải trả là 2,18 triệu đồng:  (1)
Ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được nghiệm duy nhất:  (thoả mãn điều kiện)
Vậy khi chưa tính thêm tiền thuế VAT thì giá của loại hảng thứ nhất lả 0,5 triệu đồng, và giá của loại hảng thứ hai là 1,5 triệu đồng.

Bài 4.

Gọi x là số công cụ mà xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch, và y là số công cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch

Theo kế hoạch phải làm tồng công 360 công cụ, nên ta có phương trình:  (1)

Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức  kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức  kế hoạch. Do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ:

Số công cụ xí nghiệp I làm được :

Số công cụ xí nghiệm II làm được:

Tồng số công cụ làm được:  (2)
Ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được nghiệm duy nhất:  (thoả mãn điều kiện)
Vậy, theo kế hoạch xí nghiệp I cần phải làm 200 công cụ, xí nghiệp II cần phải làm 160 công cụ.

Bài 5.

Bác An vay  vnđ của ngân hảng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lăi trong năm đầu được chuyền thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11881000 vnđ. Hỏi lãi suất cho vay một năm là bao nhiêu phần trăm ?
Gọi  là số phần trăm lãi suất trong một năm .
Số tiền ban đầu mà bác  đã vay là  vnđ.
*Nên sau năm thứ nhất :
Số tiền gốc bác An phải trả là
Số tiền lãi bác An phải trả là:  vnđ
Số tiền bác An phải trả cả tiền gốc và tiền lăi là:

Do năm đầu, bác chưa có tiền trả, nên số tiền cần trả trong năm đầu tiên (gồm gốc và lãi) chuyển thành tiền gốc để tính lãi cho năm sau.
*Sau năm thứ hai bác An phải trả :
Số tiền gốc bác An phải trả là
Số tiền lãi bác An phải trả là:
Số tiền bác An phải trả cả tiền gốc và tiền lãi là:

Theo đề, sau hai năm, bác An phải trả 11881000 vnđ, nên ta có phương trình:

Nhận nghiệm  và loại nghiệm .
Vậy, lãi suất cho vay của Ngân hàng là .

Bài 6:

Gọi x (%) là số phần trăm của sự gia tăng dân số thủ đô Hà Nội trong mỗi năm .
Số dân ban đầu của Hà Nội là  người.
Nên sau năm thứ nhất dân số tăng là:

Sau năm thứ hai dân số tăng là :

Theo đề, sau hai năm, dân số Hà Nội là  người, nên ta có phương trình :

Nhận nghiệm  và loại nghiệm .
Vậy, tỉ lệ gia tăng dân số hảng năm của Hà Nội là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4

Bài 1. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội  làm được nhiểu gấp rưỡi đội . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?

Bài 2: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng làm chung được 8 ngày thi đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làmv, do cải tiến cách làm tăng năng suất của đội lên gấp đôi. Nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải trong bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc.

Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong  rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong  nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong , rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong  nữa thì số nước chảy vào bằng  bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

Bài 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai cho chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được  bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một minh thi bao lâu sẽ đầy bể.

Bài 5. Hai người thợ cùng làm chung một công Việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chi hoàn thành được  công Việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công Việc đó trong bao lâu?

Bài 6. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày, sau đó có thêm người thứ hai đến làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người nếu làm một mình thì mất bao lâu để xong việc.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

Giải:

Gọi  (ngày) là số ngày để đội  một minh hoàn thảnh công Việc;  (ngày) là số ngày để đội  một mình hoàn thành công Việc. Điều kiện
Khi hai đội làm riêng:
Mỗi ngày : Đội A làm được:  công việc
Đội B làm được :  công Việc
Do mỗi ngày, phẩn Việc đội  lảm được nhiều gấp rưỡi đội  nên ta có phương trình:  (1)

Khi hai đội làm chung: mỗi ngày cả hai đội làm chung được:  công việc
Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công Việc, nên mỗi ngày 2 đội cùng làm thì được  công việc.

Do đó, ta có phương trình:  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
 : Vậy đội  làm một mình trong 40 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc.

Đội B làm một mình trong 60 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc.

Bài 2:

Giải:
Gọi x (ngày) là số ngày để đội I một minh hoàn thành công việc; y (ngày) là số ngày để đội II một mình hoàn thành công việc. Điều kiện

Do đó, mỗi ngày đội I làm được  công việc, và mỗi ngày đôi II làm được  công việc.
Khi hai đội làm chung, mỗi ngày cả hai đội làm được :  công việc
Hai đội làm chung trong 12 ngày thì xong công việc, nên mỗi ngày 2 đội cùng làm được  công việc.

Do đó, ta có phương trình:  (1)
Khi hai đội làm chung trong 8 ngày được  công việc suy ra:
, do cải tiến cách làm năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên mỗi ngày đội hai làm được  công Việc. Và họ làm xong phần việc còn lại trong ngày đội hai làm được  công Việc. Và họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày nên .

Vậy, ta có phương trình:  (2)
Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy với năng suất ban đầu, đội I làm một mình trong 28 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc.

Đội II làm một mình trong 41 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc.

Bài 3.

 * lập bảng

ta có hpt:

Bài 4.

Phân tích: Hai vòi cùng chảy vào bể cạn hết 1 giờ 30 phút  giờ thi đầy bể
Vòi 1 chảy trong 15 phút  giờ rồi đóng lại và mở vòi 2 chảy trong 20 phút  giờ thì được  bể.
Bảng phân tích tóm tắt:

Giải:
Gọi  (giờ) là thời gian để riêng vòi 1 chảy đầy bể, và  (giờ) là thời gian để riêng vòi 2 chảy đầy bể. Điều kiện
Khi mỗi vòi chảy riêng, thì mỗi giờ: Vòi 1 chảy được:  bể
Vòi 2 chảy được:  bể
Khi hai vòi chảy chung, mỗi giờ chúng chảy được:  bể

Theo đề, khi hai vòi cùng chảy hết  giờ thì đầy bể, nên 1 giờ cả hai vòi
chảy được  bể, ta có phươg trình:  (1)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 15 phút  giờ rồi đóng lại và mở vòi 2 chảy
trong 20 phút  giờ thì được  bể:
Vòi 1 chảy trong 15 phút  giờ chảy được : ; Vòi 2 chảy trong 20
phút  giờ thì được , nên ta có phương trình:  (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy vòi 1 chảy riêng sau  giờ 45 phút sẽ đầy bể.
Vòi 2 chảy riêng sau  giờ 30 phút sẽ đầy bể.

Bài 5.

Gọi  (giờ) là thời gian để người thứ nhất làm riêng và làm xong công việc, và y (giờ) là thời gian để người thứ hai làm riêng và làm xong công việc. Điều kiện

Khi người thứ nhất làm riêng thì mỗi giờ làm được:  công việc, người thứ hai làm riêng thì mỗi giờ làm được:  công việc.
Khi làm chung:
Hai người làm chung trong 16 giờ thì xong công việc, nên cả hai người làm trong 1 giờ được  giờ, ta có phương trình :
Khi làm riêng:
Người thứ nhất làm trong 3 giờ làm được :  công việc
Người thứ hai làm trong 6 giờ làm được :  công việc
Khi đó cả hai người làm được  công việc:  (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy nếu mỗi người làm riêng thì người thứ nhất cần 24 giờ, và người thứ hai cần 48 giờ để hoàn thành công việc.

Bài 6.

Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất làm riêng và làm xong công việc, và  (ngày) là thời gian để người thứ hai làm riêng và làm xong công việc. Điều kiện

Khi người thứ nhất làm riêng thì mỗi ngày làm được:  công việc, người thứ hai làm riêng thì mỗi ngày làm được:  công việc.
Khi làm chung:
Hai người làm chung trong 4 ngày thì xong công việc, nên mỗi ngày cả hai người làm được công việc: (1)

Khi làm riêng:
Người thứ nhất làm trong  ngày làm được :  công việc
Khi làm riêng: Người thứ nhất làm trong  ngày làm được: Người thứ hai làm trong 1 ngày làm được :  công việc Khi đó cả hai người làm xong công việc nên:  (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy nếu mỗi người làm riêng thì người thứ nhất cần 12 ngày, và người thứ hai cần 6 ngày để hoàn thành công việc.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 5

Bài 1:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi , nếu tăng chiều dài thêm , tăng chiều rộng thêm  thì diện tích của mảnh đất tăng thêm . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Bài 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam vuông. Biết nếu tăng mỗi cạnh lên  thì diện tích tam giác đó sẽ tăng lên , và nếu một cạnh giảm đi , cạnh kia giảm  thì diện tích của tam giác đó giảm đi .
Bài 3: Nhà bạn Đào có một mảnh vườn trồng cà chua. Vườn được làm thành nhiều luống để trồng cà chua, biết số cây trong mỗi luống bằng nhau. Đào tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng it đi 3 cây thi tổng số cây trong vườn giảm đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Đào trồng bao nhiêu cây cà chua.

Bài 4: Sân trường của trường Trần Phú là hình chữ nhật có chu vi . Biết 3 lần chiều dài lớn hơn 4 lần chiều rộng là 20 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Bài 5. : Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm  và chiều rộng thêm  thì diện tích tăng . Nếu chiều dài và chiều rộng cùng giảm  thì diện tích giảm đi . Tính diện tích thửa ruộng đó.

Bài 6. Tính chu vi của một hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dải và chiều rộng lên  thi diện tích hình chữ nhật tăng . Nếu tăng chiều rộng lên  và giảm chiều dài  thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1:

Bảng phân tích tóm tắt:

Giải:
Gọi  (mét) là chiểu dài của mảnh đất;  (mét) là chiều rộng mảnh đất. Điều kiện
Thực tế: Chu vi mảnh đất bằng , ta có phương trình :  (1)
Diện tích mảnh đất:
Khi kích thức thay đổi: chiều dài tăng thêm , chiều rộng tăng thêm .
Diện tích mảnh đất mới tăng thêm  so với kích thước ban đầu là:

Tử  và , ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy chiểu dài mảnh đất hình chữ nhật là .
Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là .

Bài 2.

Gọi  và  là độ dài hai cạnh góc vuông. Điều kiện
Diện tích tam giác:
Khi kích thức thay đổi:

Tăng mỗi cạnh thêm , diện tích tam giác mới là:
Diện tích mảnh đất mới tăng thêm  so với kích thước ban đầu là:

Nếu một cạnh giảm đi , cạnh kia giảm , diện tích tam giác mới là:
Diện tích của tam giác khi đó giảm đi  so với kích thước ban đầu:

Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
KL: Vậy kích thước ban đầu của hai cạnh của tam giác vuông là  và .

Bài 3.

Gọi  là số luống trồng cây, và  là số cây trên mỗi luống. Điều kiện (  )
Số cây có thể trồng trên mành vườn hiện tại là:  (cây)
Khi có sư thay đổi:
Trường hợp 1:
Nếu tăng thêm 8 luống rau :  (luống)
Mỗi luống trồng it đi 3 cây:  (cây)
Tổng số cây trong vườn:  giảm 54 cây so với số cây ban đầu, nên ta có phương trình :
Trường hợp 2:
Nếu giảm 4 luống rau :  (luống)
Mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây:  (cây)
Tổng số cây trong vườn:  tăng 32 cây so với số cây ban đầu, nên ta có phương trình :
Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
 : Tổng số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là  cây.
Bài 4:

Gọi  là kích thước chiều dài và  là kích thước chiều rộng của sân trường hình chữ nhật. Điều kiện
Chu vi của sân trường là  nên ta có phương trình:  (1)
Ba lần chiều dài lớn hơn bốn lần chiều rộng là  :  (2)
Tử (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giài hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)
 : Sân trường hình chữ nhật có chiều dài  và chiều rộng là .
Bài 5.

Gọi  là kích thước chiều dài và  là kích thước chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật. Điều kiện
Diện tích ban đầu của thửa ruông là .
Tăng chiều dài thêm  : , và tăng chiều rộng thêm  :  thì diện tích của thửa ruộng là  tăng thêm  so với ban đầu, nên ta có phương trình:  (1)

Giảm chiều dài đi  : , và giảm chiều rộng đi  :  thi diện tích của thửa ruộng là  giảm đi  so với ban đầu, nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)

Bài 6:

Gọi  là kích thước chiều dài và  là kích thước chiều rông của hình chữ nhật. Điều kiện
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là:
Tăng chiều dài thêm , và tăng chiều rộng thêm  :  thì diện tích của hình chữ nhật là  tăng thêm  so với ban đầu, nên ta có phương trình:  (1)

Tăng chiều rộng lên  : , và giảm chiều dài  :  thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi, nên ta có phương trình:  (2)
Tử (1) và ( 2 ), ta có hệ phương trình:
 Giải hệ phương trình ta được nghiệm là  (thoả mãn điều kiện)