Giáo án ôn tập Toán 9 bài: Tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ

- GV gọi HS đứng dậy, đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết:

+ HS1: Em hãy nêu định nghĩa và tính chất của tứ giác nội tiếp.

+ HS2 Trình bày dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

+ HS3: Trình bày định nghĩa và định lí đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

*Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Bước 3. Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày yêu cầu của GV đưa ra.

* Bước 4. Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Tứ giác nội tiếp

a. Định nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn đgl tứ giác nội tiếp

b. Tính chất: Trong 1 tứ giác nội tiếp tổng số đo các góc đối diện bằng

c. Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn ta chứng minh:

- Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn

- Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau.

- Tứ giác có góc ngoài của một dỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

2. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

a) Định nghĩa:

- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

b) Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1: Cho tam giác  vuông tại , điểm  nằm trên , đường tròn đường kính  cắt tại  cắt đròn tại

a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp

b) DB là phân giác của góc EDA

c) CMR 3 đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

Bài 2. Cho tam giác  có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm  đường kính  cắt  tại , cắt  tại . Các tia  cà  cắt nhau tại .  :

a)  vuông góc với

b) Gọi  là giao điểm của  và .  :  là phân giác của góc

c) Gọi  là trung điểm của .  : tứ giác  nội tiếp

 Bài 3. Cho đường tròn , điểm  nằm bên ngoài đường tròn. Qua  kẻ 2 tiếp tuyến  với đường tròn  là các tiếp điểm .  là một điểm trên dây , đthẳng qua  vuông góc với  cắt tia  và  lần lượt tại  và .  :

a) Các tứ giác: BDOM; ECOM nội tiếp

b)  là trung điểm của

 Bài 4. Cho đường tròn  và  cắt nhau tại  và  và  thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ . Qua  kẻ cát tuyến vuông góc với  cắt đường tròn  ở , căt đường tròn  ở , tia  cắt  ở , tia  cắt  ở .

a) CMR: tứ giác CKID nội tiếp

b) Gọi  là giao điểm của  và . Chứng minh 3 điểm  thẳng hàng

 Bài 5: Cho đường tròn  đường kính  là 1 điểm trên đường tròn;  là 1 điểm nằm giữa  và . qua  kẻ đthẳng vuông góc với , đthẳng này cắt các tiếp tuyến của  kẻ từ  và  lần lượt tại  và .  :

a) Các tứ giác:  nt

b) Tam giác ECF vuông tại C

 Bài 6. Cho tam giác  nhọn nt đường tròn , có 2 đường cao  và

a)  : tứ giác  nội tiếp.

b) Tia  cắt đường tròn  ở  và cắt  ở .  : tứ giác  nt

c) Chứng minh  vuông góc với

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a) ta có:

    (góc nt chắn nửa đường tròn)

Suy ra tứ giác  nt đường tròn đường kính

b) ta có:  (cùng chắn cung  )

vì tứ giác  (cùng chắn cung  )

 là phân giác của góc

c) giả sử  cắt  tại

xét tam giác ,

ta có: là trực tâm của tam giác  

mặt khác  (góc nt chắn nửa đường tròn), suy ra đthẳng  và  trùng nhau do đó 3 đthẳng  đồng quy tại

Bài 2.

a) ta có:  (góc nt chắn nửa đường tròn)  

 (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ABC                           

Ta có: là trực tâm của tam giác ABC

b) xét tứ giác , có:  tứ giác  (cùng chắn cung  )

 mặt khác:  (cùng chắn cung  )

suy ra , do đó  là phân giác của góc

c) xét tứ giác  có  tứ giác  nt  (cùng chắn cung )

mà:  (cùng chắn cung  )

mặt khác, do tứ giác  (cùng chắn cung  )

suy ra           (1)

xét tam giác , có:  cân tại

do đó  (tính chất góc ngoài của tam giác)        (2)

từ (1) và (2)  tứ giác

Bài 3.

a) xét tứ giác BDOM, ta có:

 (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra 4 điểm  nằm trên đường tròn đường kính , do đó tứ giác nội tiếp

xét tứ giác , ta có:

 (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra  do đó tứ giác

b) vì tứ giác  nt nên  (cùng chắn cung  )      (1)

tứ giác  nt nên  (cùng chắn cung  )              (2)

mà  (vì tam giác  cân tại  )

từ (1), (2) và (3) suy ra , do đó tam giác  cân tại , lại có , do đó  là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh . đpcm

Bài 4.

a) vì  là đường kính của

 là đường kính của  

Ta có:  (góc nt chắn nửa đường tròn

 (góc nt chắn nửa đường tròn  )

Do đó:  tứ giác  đường tròn đường kính

b) xét tam giác ,

 ta có: là trực tâm của t.giác

mà         (2)

từ (1) và (2) suy ra 3 điểm  thẳng hàng.  đpcm

 Bài 5.

a) xét tứ giác  có: , mà góc  và góc  là 2 góc ở vị trí đối diện, do đó tứ giác AEMC nt

chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác

b) vì tứ giác nội tiếp  (cùng chắn cung )    (1)

tứ giác  (cùng chắn cung  )          (2)

ta có:  (góc nt chắn nửa đường tròn)    (3)

từ  và

xét tam giác ECF, có:  vuông tại

Bài 6.

a) xét tứ giác  có  tứ giác  nt

b) ta có:  (cùng chắn cung )         (1)

mặt khác do tứ giác nội tiếp       (2)

từ (1) và  hay , suy ra tứ giác  nt c) ta có:  (góc nt chắn nửa đường tròn)

do tứ giác nội tiếp

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Bài 1. Cho hình vuông . Gọi  là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh  và  sao cho  và  cắt đường chéo  tại  và . Gọi  là giao điểm của  và . CMR:

a) Tứ giác nội tiếp.

b) Tam giác AQM vuông cân

c)  vuông góc với

Bài 2. Cho đường tròn  đường kính  : Một điểm  nằm trên cung  và điểm  trên đường kính  sao cho . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ  kẻ hai tiếp tuyến  và By với . Đường thẳng qua  vuông góc với  cắt  và  theo thứ tự tại  và . Gọi ;  là giao điểm của  với  với .
a. Chứng minh các tứ giác  và  nội tiếp
b. Chứng minh RS // AB
c. Tứ giác  có thể là hình bình hành được không? Tại sao?
Bài 3. Từ một điểm  nằm trong góc
Hạ các đường vuông góc  và  xuống  và  Kẻ ; . Chứng minh rằng: .

Bài 4. Cho đường tròn tâm , dường kính . Trên đường tròn lậ diểm  khắc  và . Trên đường kính  lây điểm , kẻ  vuông góc với  tại  phân giác trong của góc  cắt dường tròn tại  và căt  tại . Đường thẳng  cắt dường tròn tại . Chứng minh rằng:
a. 3 điểm  thẳng hàng.
b. Nếu  thì  đi qua trung điểm của .

Bài 5. Cho tam giác  nội tiếp đường tròn . một đường tròn tâm  tùy ý đi qua  và  cắt  và  tại am và . Đường tròn tâm  ngoại tiếp tam giác  cắt đường tròn  tại điểm thứ 2 là . Chứng minh rằng:
a. Tứ giác  là hình bình hành.
b. Góc ADI bằng

Bài 6. Cho hình bình hành  có góc  tù.  cắt  tại . Hình chiếu vuông góc của  lên ;  lần lượt là ;  chứng minh điểm  nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .

GỢI Ý ĐÁP ÁN

 Bài 1:

a) vì  là hình vuông có  là đường chéo, nên  là phân giác của góc    tứ giác

b)vì tứ giác ABMQ nội tiếp

xét tam giác , có: vuông cân tại

c) ta có:  là đường chéo của hình vuông  nên  là phân giác của góc    

tứ giác  có  tứ giác

Xét tam giác AMN, Ta có:

là trực tâm của tam giác AMN

Bài 2.

a. Ta có:

Tứ giác PMCA nội tiếp.

CMTT ta được : tứ giác PQMC  nội tiếp

 b. Do  APMC nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn )

Tương tự:

Mà  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác RMSC nội tiếp do đó:

(cùng chắn )
Ta lại có:  (cùng chắn  )
 ( Góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Nên  dpcm
c. Giả sử  là hình bình hành thì ta có
 là hình chữ nhật
Nên  là trung điểm của  mà  nên  đi qua
Hay  ( trái giả thiết  )
Vạy  không thể là hình bình hành.
Ví dụ2: Từ một điểm  nằm trong góc
Hạ các đường vuông góc  và  xuống  và  Kẻ ; . Chứng minh rằng:
Bài 3.

Ta có:
Nên OPMQ nọi tiếp  (Cùng chắn ).

Mặt khác  ( Cùng phụ với  )

Do đó: (đpcm)
Bài 4.

a. Chứng minh tứ giác  nội tiếp
Mặt khác:
Từ đó suy ra:  thẳng hàng
b. Kẻ
Chứng minh ADCK là hình bình hành.
Suy ra: DN đi qua trung diếm của .
Bài 5.

a. Chứng minh được

Tương tự: AK // IO
Vậy  là hình bình hành
b. Gọi E là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành AKIO.
Ta có: 
Ta lại có:  là trung trực của  nên .
Nên

Bài 6.

Tứ giác BA'DC nội tiếp
Tứ giác:  nội tiếp
Vậy  đường tròn ngoại tiếp

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

Bài 1: Từ 1 điểm  ở ngoài , vẽ 2 tiếp tuyến  với đường tròn. Trên cung nhỏ  lấy 1 điểm . Vẽ  vuông góc với  vuông góc với  vuông góc với . Gọi  là giao điểm của  và  là giao điểm của  và . CMR:

a) Tứ giác  nội tiếp; tứ giác  nội tiếp

b)

c) Tứ giác ICKD nội tiếp

d)  vuông góc với

Bài 2: Cho tam giác  cân tại  nội tiếp đường tròn , điểm  thuộc tia đối của tia  cắt  tại , tiếp tuyến của  tại  cắt  ở .  :

a) Tứ giác BFDE nội tiếp

b)

Bài 3: Cho hình vuông , điểm  thuộc cạnh . Vẽ đường tròn  đường kính , cắt  tại  (khác  ). Gọi là giao điểm của  và .  :

a) Tam giác BEM vuông cân

b)

c) 4 điểm  thuộc cùng 1 đường tròn

d)  là tiếp tuyến của

Bài 4: Cho tam giác  cân tại  có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên nội tiếp đường tròn . Tiếp tuyến tại  và  của đường tròn lần lượt cắt tia  và tia  ở  và .  :

a)

b) Tứ giác  nội tiếp

c)

Bài 5: Cho tứ giác  nội tiếp đường tròn  đường chéo  và  vuông góc với nhau tại . trung tuyến  của tam giác  cắt  ở , đường cao  của tam giác  cắt  ở .

a) CMR: IK vuông góc với BD

b) Chứng minh  là trung điểm của

c) Tứ giác OMIN là hình gì? Tại sao?

d) Chứng minh ;

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a) Ta có:

 xét tứ giác , ta có: , mà 2 góc này ở vị trí đối nhau suy ra tứ giác AECD nội tiếp

 xét tứ giác , ta có: , mà 2 góc này ở vị trí đối nhau suy ra tứ giác BFCD nội tiếp

b) ta có:  (cùng chắn cung  )

 do tứ giác  nội tiếp  (cùng chắn cung  )

Suy ra:        (1)

 do tứ giác  nội tiếp  (cùng chắn cung  )     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Mặt khác:  (cùng chắn cung  )

 do tứ giác  nội tiếp  (cùng chắn cung  )

Suy ra:     (3)

 do tứ giác  nội tiếp  (cùng chắn cung  )     (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Xét tam giác  và tam giác , ta có:

 g.g

c) Xét tứ giác ICKD, ta có:  (tổng các góc của tam giác  ), mà  là 2 góc ở vị trí đối nhau, suy ra tứ giác ICKD

d) ta có tứ giác nội tiếp  (cùng chắn cung  ), mà  (cmt)

Suy ra , mà  là 2 góc ở vị trí đồng vị nên , lại do  vuông góc với , nên  vuông góc với  

Bài 2.

a) ta có:  (cùng bù với  )

mà  (do tam giác  cân tại  )

suy ra:       (1)

mặt khác:  (cùng chắn cung  )       (2)

từ (1) và (2) suy ra  đỉnh  cùng nhìn xuống cạnh  dưới 2 góc bằng nhau, suy ra tứ giác BFDE nội tiếp

b) do tứ giác BFDE nội tiếp  (cùng chắn cung  ), mà , suy ra  (2 góc ở vị trí so le trong)

Bài 3.

a) vì tứ giác

     (1)

Mặt khác:  (tính chất của hình vuông)  sđ cung  sđ cung  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác  vuông cân tại

b) xét tam giác  và tam giác , ta có:

CE: chung

 (tính chất của hình vuông)

CB  CD

Do đó  (c.g.c)  (cạnh tương ứng)    (3)

Từ  và

c) ta có: cân tại E

(4) và (5)  điểm  thuộc cùng 1 đường tròn có tâm

d) do tứ giác BKDM nội tiếp

 là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 4:

a) ta có:  (cùng chắn cung  )

 xét tam giác  và tam giác , ta có:

 g.g

b) tacó:

=> 2 điểm D và E cùng nhìn xuống cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau  tứ giác  nội tiếp

c) ta có:  ( ), mà tứ giác  (cùng bù với  

do đó  ( 2 góc ở vị trí đồng vị)

Bài 5.

a) ta có:  (cùng chắn cung )           (1)

 do IM là trung tuyến của tam giác  tam giác MAI cân tại  

 mà  (đối đỉnh)          (2)

Từ (1) và  suy ra  vuông góc với

b) ta có:  (đối đỉnh), mà , do đó:

 mà  suy ra:  (*)

+ mặt khác:       (**)

 và  suy ra:  tam giác  cân tại    (3)

+ lại có:

=> tam giác NID cân tại N        (4)

(3) và (4)  là trung điểm của

c) ta có:  lần lượt là trung điểm của  và  vuông góc với  vuông góc với

 (cùng vuông góc với  );  (cùng vuông góc vói  )

Do đó tứ giác DMIN là hình bình hành (vì có các cạnh đối song song)

d) vì tứ giác  là hình bình hành

mà  nên