Giáo án ôn tập Toán 9 bài: Phương trình bậc hai một ẩn

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ

- GV gọi HS đứng dậy, đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết theo các mục:

+ Dạng phương trình bậc hai một ẩn và cách giải (công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn…)

+ Hệ thức vi – ét và ứng dụng.

+ Các bài toán phụ về phương trình bậc hai thường gặp.

+  Các biểu thức thường gặp trong việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số.

*Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Bước 3. Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày yêu cầu của GV đưa ra.

* Bước 4. Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:  

trong đó  là ẩn ;  là các hệ số cho trước với .
2. Cách giải:

Nếu c , ta có phương trình:

Nếu , ta có phương trình:
Khi  thì
Khi  thì phương trình vô nghiệm.

Nếu , biến đổi phương trình về dạng :

a. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Để giải phương trình bậc hai:
*Biệt thức Delta:

Nếu  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu  thì phương trình có nghiệm kép: ;

Lưu ý: nếu  (  trái dấu) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
b. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai  và
Tính biệt thức:
Nếu  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu  thì phương trình có nghiệm kép

.
Nếu  thì phương trình vô nghiệm.

3. Hệ thức Viet và ứng dụng

Định lý Viet: nếu  là hai nghiệm của phương trình:

Nếu hai số có tổng bằng  và tích bằng  thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: . (Điều kiện để có hai số đó là:  ).

*  Cách nhẩm nghiệm của phương trình:
 Nếu  thì phương trình có nghiệm .
 Nếu  thì phương trình có nghiệm .

Nếu nhẩm được:  thì phương trình có nghiệm

4. Phương trình bậc hai

Phương trình vô nghiệm  hoặc

Phương trình có nghiệm kép

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

Phương trình có 2 nghiệm dương

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương

Phương trình có 2 nghiệm âm

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt âm

Phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoà
5. Các biểu thức thường gặp trong việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số  :

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1. Chỉ ra các hệ số  trong mỗi phương trình, sau đó giải phương trình:
a.
b.
c.
d.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)

b)        

c)      

d)   

e)      

Bài 3. Giải các phương trình sau bẳng cách chuyển về dạng:  với  là hằng số:
a.
b.
c.
d.
Bài 4. Đưa các phương trình sau về dạng . Rồi chỉ ra các hệ số  ?
a.
b.
c.
d.

Bài 5. Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi vế trái về dạng tích của các biểu thức:
a.
b.
c.
d.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a. Phương trình , có hệ số ; và .

Vậy, phương trình có hai nghiệm: .
b. Phương trình , có hệ số  và .

Vây, phương trình có hai nghiệm: .
c. Phương trình , có hệ số ; và .

Vậy, phương trình có hai nghiệm: .
d. Phương trình , có hệ số ; và .

Vậy, phương trình có hai nghiệm: .

Bài 2. .

a)      

b)        

c)      

d)   

e)      

Bài 3.

Giải các phương trình sau bằng cách chuyển về dạng:  với  là hằng số:
a. Phương trình

Vây, nghiệm của phương trình là .
b. Phương trình

Vây, nghiệm của phương trình là .
c. Phương trình
 không có giá trị  thoả mãn.

Bài 4. Rút gọn biểu thức

 a. Phương trình
có hệ số : .
b. Phương trình
có hệ số : .
c. Phương trình
có hệ số : .
d. Phương trình
có hệ số : .
Bài 5.

a. Phương trình

Vậy, phương trình có nghiệm là .
b. Phương trình

Vậy, phương trình có nghiệm là .
c. Phương trình

Vậy, phương trình có nghiệm là .
d. Phương trình  
Vậy, phương trình có nghiệm là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số , rồi tính biệt thức delta  và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
a.
b.

c.
d.
Bài 2. Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm: .
a.
b.
c.
d.

Bài 3. Xác định  ',  rồi dùng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình:
a.
b.
c.
d.
Bài 4. Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn.
a.
b.
c.
d.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a. Phương trình , có hệ số ; và .

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Phương trình , có hệ số  và .

Vậy, phương trình vô nghiệm.
c. Phương trình , có hệ số ; và .

Vây, phương trình có nghiệm kép.
d. Phương trình , có hệ số ; và

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2.

a. Phương trình , có hệ số  và

Vậy, phương trình vô nghiệm.
b. Phương trình , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
c. Phương trình , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
d. Phương trình , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Bài 3.

a. Phương trình  có các hệ số .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt : .
b. Phương trình  có các hệ số .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt : .
c. Phương trình  có các hệ số .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt : .
d. Phương trình  có các hệ số .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Bài 4.

a. Phương trình , có hệ số ; và .

Vậy, phương trình vô nghiệm.
b. Phương trỉnh , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
c. Phương trình , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
d. Phương trình , có hệ số  và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

Bài 1. Với giá trị nào của  thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó.
a.
b.
c.
d.

Bài 2. Với giá trị nào của  thì các phương trình sau vô nghiệm?
a.
b.
c.
d.

Bài 3. Với giá trị nào của  thì các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo .
a.
b.
c.
d.

Bài 4. Với giá trị nào của  thì các phương trình sau:
a. Phương trình  có nghiệm .
b. Phương trình  có nghiệm .
Bài 5. Tìm  để các phương trình sau có nghiệm kép :
a.
b.
c.
d.
Bài 6. Với giá trị nào của  thì các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ?
a.
b.
c.
d.

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1. Tìm  để phương trình có nghiệm kép
a. Phương trình  có :

Phương trình có nghiệm kép
Vậy, với  thì phương trình có nghiệm kép .
b. Phương trình  có :
 với mọi . Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, không có giá trị k thoả mãn điều kiện bài toán.
c. Phương trình  có :

Phương trình có nghiệm kép
Giải phương trình  ta được .
Vậy, với  thì phương trình có nghiệm kép .
với  thì phương trình có nghiệm kép .
d. Phương trình  có :
 với mọi .
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .
Vậy, không có giá trị  thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2.

a. Phương trình  có :

Để phương trình vô nghiệm

Vậy, với  thì phương trình đã cho vô nghiệm.
b. Phương trình  có :

Để phương trình vô nghiệm
Vậy, với  thì phương trình đã cho vô nghiệm.
c. Phương trình  có :
 với mọi .
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, không có giá trị  thoả mãn để phương trình vô nghiệm.
d. Phương trình  có :
 với mọi
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, không có giá trị m thoà mãn để phương trình vô nghiệm.

Bài 3.

a. Phương trình  có :
 với mọi .
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi , với :

b. Phương trình  có :

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy, với  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

c. Phương trình  có :

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy, với  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

d. Phương trình  có :

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy, với  hoặc  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

Bài 4.

a. Phương trình  có nghiệm .

Khi , ta có phương trình  có hai nghiệm .
b. Phương trình  có nghiệm .

Khi m = 5, ta có phương trình -x + 2 = 0 có một nghiệm x = 2

Bài 5.

a. Phương trình  có nghiệm kép
Vói . Suy ra
Vậy, với  thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b. Phương trình  có nghiệm kép
Với .
Suy ra
Vậy, với  thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
c. Phương trình  có nghiệm kép
Với

Suy ra
Vậy, với  hoặc  thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
d. Phương trình  có nghiệm kép
Với .
Suy ra
Vậy, với  thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
Bài  6.

a. Phương trình  có hai nghiệm phân biệt

Với
Suy ra
Vậy, với  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b. Phương trình  có hai nghiệm phân biệt

Vậy, với  hoặc  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
c. Phương trình  có hai nghiệm phân biệt
Với  với mọi giá trị của  và hệ số .
Vậy, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị .
d. Phương trình  có hai nghiệm phân biệt

                                      Với

Suy ra
Vậy, với  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4

Bài 1. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau :
a.
b.
c.
d.
Bài 2. Dùng điều kiện , hoặc  để nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a.
b.
c.
 
e.
f.

Bài 3.

 a. Cho phương trình . Biết phương trình có một nghiệm . Sử dụng định lý  ét để tìm nghiệm còn lại.
b. Cho phương trình . Chứng tỏ phương trình có một nghiệm . Sử dụng định lý Vi ét để tìm nghiệm còn lại.
Bài 4. Tìm hai số  trong mỗi trường hợp sau :
a.  và
b.  và
c.  và
d.  và

Bài 5. Cho phương trình  có hai nghiệm . Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a.
b.
c.
d.
Bài 6. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
a. 5 và 2
b. 7 và 9
c. 3 và
d.  và
e.  và
f.  và

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a. Phương trình  có

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Theo hệ thức vi ét ta có: .
b. Phương trình  có

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Theo hệ thức vi ét ta có: .
c. Phương trình  có

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm kép .
Theo hệ thức vi ét ta có: .
d. Phương trình  có

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2.

a. Phương trình  có .
Nên có nghiệm ; và .
b. Phương trình  có .
Nên có nghiệm ; và .
c. Phương trình  có .
Nên có nghiệm ; và .
d. Phương trình  có
Nên có nghiệm ; và .
e. Phương trình  có
Nên có nghiệm ; và .
f. Phương trình  có
Nên có nghiệm  và .
Bài 3.

a. Cho phương trình . Phương trình có nghiệm .
Áp dụng định lý Vi ét ta có: .
b. Cho phương trình . Phương trình có nghiệm .
Áp dụng định lý Vi ét ta có: .

Bài 4.

a. Ta có :  và .
Nên u, v là hai nghiệm của phương trình :
Giải phương trình ta được nghiệm .
Vậy, hai số cần tìm là  hoặc .
b. Ta có :  và .
Nên u, v là hai nghiệm của phương trình :
Giải phương trình ta được nghiệm .
Vậy, hai số cần tìm lả  hoắc .
c.  và .
Đặt , ta có  và .
Nên  ' là hai nghiệm của phương trình :
Giải phương trình ta được nghiệm .
Suy ra :  hoắc
Do đó, hai số cần tìm là  hoặc
d.  và .
Ta có:

Trường hợp  và , thì  là hai nghiệm của phương trình:
. Giải phương trình ta được nghiệm .
Suy ra hai số cần tìm là  hoặc
Trường hợp 2:  và , thì  là hai nghiệm của phương trình:
. Giải phương trình ta được nghiệm .
Suy ra hai số cần tim là  hoạcc
Kết luận : Vậy, hai số cần tim là  hoặc  hoặc  hoặc

Bài 5.

Phương trình  có  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có:
a. Biểu thức

b.

c.
d.

Bài 6.

a. Hai số 5 và 2 có tổng là  và tích là  nên nó là nghiệm của phương trình sau: ;
b. Hai số 7 và 9 có tổng là  và tích là  nên nó là nghiệm của phương trình sau: ;
c. Hai số 3 và  có tồng là  và tích là  nên nó là nghiệm của phương trình sau: ;
d. Hai số  và  có tổng là  và tích là  nên nó lả nghiệm của phương trình sau: ;
e. Hai số  và  có :
Tổng
. Tích là  nên nó là nghiệm của
phương trình sau: ;
f. Hai số  và  có :
Tổng
Tích là  nên nó là nghiệm của phương trình sau: ;

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 5

Bài 1.

a. Chứng tỏ rằng phương trình  có một nghiệm là 3 . Tìm nghiệm còn lại.
b. Cho phương trình . Biết phương trình có nghiệm  , hãy dùng hệ thức Vi ét để tìm nghiệm còn lại của phương trình, từ đó tính giá trị của .
Bài 2. Hãy sử dụng hệ thức Vi ét để tìm nghiệm còn lại và tham số  trong mỗi phương trình sau:
a. Phương trình , biết phương trình có nghiệm .
b. Phương trình , biết phương trình có nghiệm .
c. Phương trình , biết phương trình có nghiệm .

Bài 3. Cho phương trình  Tìm  để phương trình có hai nghiệm  thoả mãn điều kiện sau:
a.
b.
Bài 4. Cho pt

a) xác định  để pt có nghiệm

b) Tìm  để pt có 2 nghiệm thỏa mãn:

Bài 5. Cho pt . Xác định  để pt có 2 nghiệm thỏa mãn

Bài 6. Cho pt

a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm  với mọi

b) Đặt

* CMR:

* Tìm  để

c) Tìm  để pt có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1.

a. Thay  vào phương trình  được:
 nên  là một nghiệm của phương trình.
Theo định lý Vi ét, ta có: .
b. Phương trình  có nghiệm .
Áp dụng hệ thức  i ét ta có:

Cũng theo hệ thức Vie ét :

Vậy, với  hoặc  thì phương trình đã cho có nghiệm .

Bài 2.

a. Phương trình . Phương trình có nghiệm .
Áp dụng định lý Vi ét ta có: .
Khi đó, .
Vậy, với  thì phương trình có nghiệm  và nghiệm còn lại .
b. Phương trình , biết phương trình có nghiệm .
Áp dụng định lý Vi ét ta có: .
Khi đó, .
Vậy, với  thì phương trình có nghiệm  và nghiệm còn lại
c. Phương trình , biết phương trình có nghiệm .
Áp dụng định lý Vi ét ta có: .
Khi đó,

Vậy, với  thì phương trình có nghiệm  và nghiệm còn lại

Bài 3.

Phương trình  có .
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi ét ta có:
a. Kết hợp giả thiết , ta có hệ phương trình :

Thay các giá trị  vào
(2) ta có: .
Vậy, với  thì phương trình thoả điều kiện bài toán.
b. Kết hợp giả thiết , ta có hệ phương trình :

Thay các giá trị  vào  ta có: .
Vậy, với  thì phương trình thoả điều kiện bài toán.

Bài 4.

a) Ta có: . Pt có nghiệm

b) với  giả sử  có 2 nghiệm là . theo Vi-ét ta có:

lại có:

thay  vào  ta được:  (thỏa mãn điều kiện)

Bài 5.

Ta có:

Pt có 2 nghiệm           (*)

với  giả sử pt có 2 nghiệm là . theo Vi-ét ta có:

lại có:      (3)

kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình:  thay vào (2) ta được

 thỏa mãn đk

Bài 6.

a) ta có , do đó pt có 2 nghiệm với mọi giá trị của

b) +với mọi  pt có nghiệm . theo Vi-ét ta có:           (*)

từ        (**)

thay  vào  ta được:  đpcm

+ với  suy ra

c) giả sử , kết hợp  ta có:

giải pt