Nội dung chính Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

CHƯƠNG VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP1.  

1. a) Biểu thức y = f(x) = -x2 + x + 3 được biểu diễn trong Hình 1 là đa thức bậc hai.
2. b) Có: f(2) = −22 + 2 + 3 = 1 > 0

Vậy f(2) mang dấu dương. 

Kết luận:

Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Lưu ý:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x0 vào f(x), ta được f(x0) = a x02 + bx0 + c, gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x0.

+ Nếu f(x0) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x0.

+ Nếu f(x0) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x0.

+ Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm)trên khoảng hoặc đoạn đó.

Ví dụ 1:  SGK – tr7.

Thực hành 1:

1. a) Biểu thức f(x) = −2x2 + x - 1 là một tam thức bậc hai.

f(1) =2.12 + 1−1 = 2 > 0 

⇒ f(x) dương tại x =  1

1. b) Biểu thức g(x) =−x4 + 2x2 + 1 không là tam thức bậc hai.
2. c) h(x)= −x2 +  2x −3 là tam thức bậc hai. 

h(1) = −12 + 2.1 – 3 

= −4 + 2 -2,6 < 0 

h(x) âm tại x = 1.

Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

+  Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức ∆ = b2 – 4ac và ∆'= b2 2- ac  lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x)

Ví dụ 2: SGK – tr7

Thực hành 2:

1. a) Tam thức bậc hai  y=f(x)=2x2-5x+2 có : 

Δ=(-5)2-4.2.2=9 >0

f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=-(-5)+92.2=2 và x2=-(-5)-92.2=12 

1. b) Tam thức bậc hai  y=g(x)=-x2+6x-9 có : 

Δ=(6)2-4.(-1).(-9)=0 

g(x) có nghiệm kép là: 

x1=x2=-62.(-1)=3

1. c) Tam thức bậc hai  y=h(x)=4x2-4x+9 có : 

Δ=(-4)2-4.4.9=-128 < 0 

g(x) vô nghiệm. 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐKP2.  

+ Hình a:

 y=f(x)=-x2+2x-2 

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm

Có a = -1 < 0; f(x) < 0, mọi x∈R

+ Hình b: 

y=f(x)=-x2+2x-1.

Δ=0;  f(x)  có nghiệm kép  x1 = x2 = 1

Có a =  -1 <0; f(x) <0, mọi x∈R \{1}

+ Hình c:

y=f(x)=-x2+2x+3

Δ>0 ; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 và x2 = 3.

Có: a = -1 < 0; f(x) < 0  khi x∈-∞- 13+ ∞ .

+ Hình d:

y=f(x)=x2+6x+10

Δ<0 ; f(x) vô nghiệm.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R

+ Hình e:

y=f(x)=x2+6x+9

Δ=0 ; f(x) có nghiệm kép  x1 = x2 = -3

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 mọi x∈R \{-3}

Hình g: 

y=f(x)=x2+6x+8

Δ>0; f(x) có hai nghiệm phân biệt: x1 = -4 và x2 = -2.

Có: a = 1 > 0; f(x) > 0 khi x∈-∞- 4-2+

 Kết luận:

Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2 + bx + c (a 0)

+ Nếu ∆ <0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

+ Nếu ∆ =0 và x0 = -b2a là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0 .

+ Nếu ∆ >0 và x1; x2 là hai nghiệm của f(x) (x1 < x2) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x1; x2); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-; x1) ; (x2; +).

* Chú ý:

1. a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆ ;

Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;

Bước 4: Xác định dấu của f(x).

Ví dụ 3: SGK – tr9

Thực hành 3.

2. a) f(x)=2x2-3x-2 có: =25 > 0, hai nghiệm phân biệt là  x1= -12 và x2 = -2.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng (-∞;  -12) (-12 ; +∞) và âm trong khoảng (-12 ; 2). 

1. b) g(x)=-x2+2x-3 có: Δ=-8 < 0 và a = -1 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi x∈R.

Vận dụng:

y=h(x)=-0,006x2+1,2x-30 

có: Δ=1825>0 hai nghiệm phân biệt là:

x1=-1,2+325-3250=100-502 

x2=-1,2-325-3250=100+502 

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu khi và thấp hơn mặt cầu khi x∈-∞1 00-502100+502+ ∞