Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 1 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

HĐKP 1

1. a) Với mỗi số thực , góc lượng giác rad được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác, mỗi điểm như vậy đều có một tung độ và một hoành độ duy nhất, chính là và .

Do đó xác định duy nhất giá trị  và .

1. b) Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin  nên cũng xác định duy nhất giá trị tan .

Với  thì . Vỉ xác định duy nhất giá trị  và sin  nên cũng xác định duy nhất giá trị .

Như vậy  và  là các hàm số.

Kết luận

- Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực kí hiệu

- Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực kí hiệu

- Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

 với  , kí hiệu

- Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

 với  , kí hiệu

Nhận xét

- Tập xác định của hàm số  và là

- Tập xác định của hàm số là

- Tập xác định của hàm số là .

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

1. a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

HĐKP 2

1. a) và .

Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số  đối xứng qua trục . Điều này có được vì giá trị hàm số  tại  và  là bằng nhau với mọi .

1. b) và . Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xúng qua gốc tọa độ . Điều này có được vì giá trị hàm số  ại  và  là đối nhau với mọi .

Định nghĩa

Cho hàm số  có tập xác định là .

+ Hàm số   với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi   ta có  và .

+ Hàm số   với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi   ta có  và .

Nhận xét

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Ví dụ 1 (SGK -tr.27)

Thực hành 1

+) Hàm số  có tập xác định là .

Với mọi  thì  và .

Do đó  là hàm số lẻ.

+) Hàm số  có tập xác định là .

Với mọi  thì , , cũng có nghĩa là . Hơn nũa, . Do đó  là hàm số lẻ.

1. b) Hàm số tuần hoàn

HĐKP 3

 bằng  hoặc một bội bất kì khác của . Như vậy giá trị của hàm số sin lặp lại trên từng đoạn có độ dài .

Kết luận

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn  nếu tồn tại  sao cho: với mọi ta có  và .

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

Chú ý:

Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

Ví dụ 2 (SGK -tr.27)

Thực hành 2

Hàm số  là hàm số tuần hoàn vì với mọi  ta có  và .

Hàm số  là hàm số tuần hoàn vì với mọi  ta có

 và .

Chú ý:

1. a) Các hàm số và là các hàm số tuần hoàn với chu kì
2. b) Các hàm số và là các hàm số tuần hoàn với chu kì

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. a) Hàm số

HĐKP 4 (Bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .

1. b) Hàm số

HĐKP 5 (bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Là hàm số chẵn và đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.

• Đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng .

Ví dụ 3 (SGK -tr.29)

Thực hành 3

1. a) Ta có đồ thị hàm số với
2. b) Xét trên đoạn

Tại điểm có hoành độ  thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

1. c) Khi thì

Vận dụng 1:

Trong 3 giây đầu, ta có , nên . Đặt  và từ đồ thị hàm số côsin, ta có đồ thị hàm  trên đoạn  như sau:

Ta thấy  đạt giá trị lớn nhất khi  hoặc . Khi dó  hoặ .

1. c) Hàm số

HĐKP 6:

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Đồng biến trên mỗi khoảng

1. d) Hàm số

HĐKP 7

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
• Nghịch biến trên mỗi khoảng

Ví dụ 4 (SGk -tr.32)

Thực hành 4

1. a) Ta có đồ thị hàm số với và
2. b) Trong hình dưới đây, ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. Do đó, có hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2.

Vận dụng 2

Điểm nằm cách xích đạo  có  hoặc , nghĩa là  hoặc

 nên .

Đặt  và xét đồ thị hàm số  trên khoảng , ta có đồ thị như hình:

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ  Bắc và  Nam nằm cách xích đạo