Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 3 Bài 3: Hàm số liên tục

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
HĐKP 1
lim┬(x→1^- )⁡f(x) =lim┬(x→1^- ) 1=1;
lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ ) (1+x)=2.
Suy ra không tồn tại giới hạnlim┬(x→1)⁡f(x).
lim┬(x→2^- )⁡f(x) =lim┬(x→2^- ) (1+x)=3;
lim┬(x→2^+ ) f(x)=lim┬(x→2^+ )  (5-x)=3.
Suy ra tồn tại giới hạn lim┬(x→2)  f(x)=3.
Mặt khác, f(2)=1+2=3 nên lim┬(x→2)  f(x)=f(2).
Kết luận
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x_0∈K. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x_0 nếu lim┬(x→x_o )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ).
Nhận xét:
Để hàm số y=f(x) liên tục tại x_o thì phải có cả ba điều sau
1. Hàm số xác định tại x_o
2. Tồn tại lim┬(x→x_o )⁡〖f(x)〗;
3. lim┬(x→x_o )⁡f(x)=f(x_o )
Chú ý:
Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x_0 được gọi là f(x) gián đoạn tại điểm x_0 và x_0 là điểm gián đoạn của hàm số.
Ví dụ 1 (SGK -tr.81)
Thực hành 1
a) lim┬(x→3) f(x)=lim┬(x→3) (1-x^2 )=1-3^2=-8=f(3).
Vậy hàm số liên tục tại x_0=3.
b) lim┬(x→1^- ) f(x)=lim┬(x→1^- ) (-x)=-1;
lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ ) (x^2+1)=2.
Suy ra không tồn tại giới hạn lim┬(x→1) f(x). Do đó, hàm số không liên tục tại x_0=1.
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN
HĐKP 2:
a) Với mọi x_0∈(1;2), ta có
lim┬(x→x_o )  f(x)=lim┬(x→x_o )   (x+1)=x_0+1=f(x_0 ).
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x_0∈(1;2).
b) lim┬(x→2^- )   f(x)=lim┬(x→2^- ) (x+1)=2+1=3=f(2).
c) lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ ) (x+1)=1+1=2.
Vậy để lim┬(x→1^+ )  f(x)=k, ta phải có k=2.
Kết luận
- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim┬(x→a^+ ) f(x)=f(a),lim┬(x→b^- ) f(x)=f(b).
Nhận xét:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.

Ví dụ 2 (SGK -tr.82)
Thực hành 2
Với mọi x_0∈(1;2), ta có:
lim┬(x→x_0 ) f(x)=lim┬(x→x_0 ) (√(x-1)+√(2-x))=lim┬(x→x_0 ) √(x-1)+lim┬(x→x_0 ) √(2-x)=√(x_0-1)+√(2-x_0 )=f(x_0 )." "
Do đó, hàm số liên tục tại mọi điểm x_0∈(1;2).
Ta lại có:
lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ ) (√(x-1)+√(2-x))=lim┬(x→1^+ ) √(x-1)+lim┬(x→1^+ ) √(2-x)=√(1-1)+√(2-1)=1=f(1)." "
Tương tự, lim┬(x→2^- ) f(x)=f(2).
Từ đó, hàm số liên tục trên [1:2].
Vận dụng 1
a) Với k=0,lim┬(x→x_0 ) P(x)=P(x_0 ) tại mọi x_0∈(0;+∞),x_0≠400.
lim┬(x→400^- ) P(x)=lim┬(x→400^- ) (4,5x)=4,5.400=1800;
lim┬(x→400^+ ) P(x)=lim┬(x→400^+ ) (4x)=4.400=1600
Do lim┬(x→400^- ) P(x)≠lim┬(x→400^+ ) P(x), nên P(x) không liên tục tại x=400.
b) Ta cần tìm k để hàm số liên tục tại x=400.
■(&lim┬(x→400^- ) P(x)=lim┬(x→400^- ) (4,5x)=4,5.400=1800=P(400);@& lim┬(x→400^+ ) P(x)=lim┬(x→400^+ ) (4x+k)=4.400+k=1600+k.)
Để P(x) liên tục tại x=400, ta phải có 1600+k=1800 suy ra k=200.
3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP
HĐKP 3
a) Hàm số y=f(x)=1/(x-1) có tập xác định là (-∞;1)∪(1;+∞);
Hàm số y=g(x)=√(4-x) có tập xác định là (-∞;4].
b)
+) Với x_0≠1, ta có
lim┬(x→x_0 ) f(x)=lim┬(x→x_0 ) 1/(x-1)=1/(lim┬(x→x_0 ) x-1)=1/(x_0-1)=f(x_0 ).
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x≠1.
Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).
+) Tương tự, chỉ ra được hàm số y=g(x)=√(4-x) liên tục trên khoảng (-∞;4].
Vì với x_0∈(-∞;4), ta có
lim┬(x→x_0 ) g(x)=lim┬(x→x_0 ) √(4-x)=√(4-x_o )=g(x_0 )
Và lim┬(x→4^- ) g(x)=g(4)
Kết luận
- Hàm số đa thức y=P(x) và các hàm số y=sin⁡x,y=cos⁡x liên tục trên R.
- Hàm phân thức y=P(x)/Q(x) , hàm y=√(P(x) ), các hàm số y=tan⁡x,y=cot⁡xliên tục trên tập xác định của chúng.
(Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức).
Nhận xét:
Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Ví dụ 3 (SGK -tr.83)
Thực hành 3:
Hàm số y=√(x^2-4) là hàm số căn thức, có tập xác định (-∞;-2]∪[2;+∞).
Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;-2] và [2;+∞).
Thực hành 4
Do hàm số y=f(x)=(x^2-2x)/x là hàm phân thức xác định khi x≠0 nên f(x) liên tục tại mọi điểm x≠0.
Ta có lim┬(x→0)  (x^2-2x)/x=lim┬(x→0) (x-2)=-2. Từ đó, giá trị cần tìm là a=-2.
Vận dụng 2
+) Hàm số liên tục trên các khoảng (0;0,7),(0,7;20) và (20;+∞).
+) Xét hàm số liên tục tại x = 0,7.
lim┬(x→〖0,7〗^- ) T(x)=lim┬(x→〖0,7〗^- ) 10000=10000=T(0,7);
lim┬(x→0,7^+ ) T(x)=lim┬(x→0,7^+ ) [10000+(x-0,7)⋅14000]
=10000+(0,7-0,7)⋅14000=10000.
Ta thấy lim┬(x→〖0,7〗^- ) T(x)=lim┬(x→〖0,7〗^+ ) T(x)=T(0,7).
Do đó, hàm số liên tục tại x=0,7.
+) Xét hàm số liên tục tại x = 20
lim┬(x→20^- ) T(x)=lim┬(x→20^- ) [10000+(x-0,7),14000]
=10000+(20-0,7),14000
=280200=T(20)
lim┬(x→20^+ ) T(x)=lim┬(x→20^+ ) [280200+(x-20),12000]=280200.
Ta thấy lim┬(x→20^- ) T(x)=lim┬(x→20^+ ) T(x)=T(20).
Do đó, hàm số liên tục tại x=20.
Vậy hàm số liên tục trên (0;+∞).
4. TỔNG, HIỆU TÍCH THƯƠNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
HĐKP 4
lim┬(x→2) f(x)=f(2),lim┬(x→2) g(x)=g(2)
và lim┬(x→2) [f(x)+g(x)]=lim┬(x→2) f(x)+lim┬(x→2) g(x)
=f(2)+g(2).
Suy ra hàm số y=f(x)+g(x) liên tục tại điểm x=2.
Kết luận
Cho hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x_0. Khi đó:
+ Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x_0;
+) Hàm số y=(f(x))/(g(x)) liên tục tại x_0 nếu g(x_0 )≠0.
Ví dụ 4 (SGK -tr.84)
Thực hành 5
a) Hàm số xác định trên R. Do các hàm số y=√(x^2+1) và y=3-x liên tục trên R nên hàm số đã cho liên tục trên R.
b) Tập xác định: D=(-∞;0)∪(0;+∞). Hàm số y=(x^2-1)/x liên tục tại mọi điểm x≠0 và hàm số y=cos⁡x liên tục trên R nên hàm số đã cho liên ṭ̣c tại mọi điểm x≠0 (hay liên tụ̣c trên các khoảng (-∞;0) và (0;+∞)).
Vận dụng 3
a) S(x)=2S_(△OMN)=2⋅1/2,OM⋅MN=x√(1-x^2 ) với -1<x<1.
b) Hàm số liên tục trên (-1;1)
Vì hàm số y=x và y=√(1-x^2 ) đều liên tục trên (-1;1)
c) (lim)┬(x→1^- ) S(x)=(lim)┬(x→1^+ ) S(x)=0.