Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
a) Khi x càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4 .
b) Điểm P càng gần đến điểm (0;4) trên trục tung khi điểm H càng gần về điểm (1;0) trên trục hoành.
*) Sử dụng giới hạn dãy số
Lấy dãy số (x_n ) bất kì sao cho x_n≠1;lim⁡〖x_n 〗=1. ta có
f(x_n )=(2x_n^2-2)/(x_n-1)=2(x_n+1)(x_n-1)/(x_n-1)=2x_n+2.
Do đó, lim⁡f(x_n )=lim⁡(2x_n+2)=2 lim⁡〖x_n 〗+lim⁡2=2.1+2=4
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là 4 khi x dần tới 1.
Kết luận:
Cho điểm x_0 thuộc khoảng K và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc 〖K\\{x〗_0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x_0 nếu với dãy số (x_n ) bất kì, x_n∈〖K\\{x〗_0} và x_n→x_0, thì f(x_n )→L, kí hiệu lim┬(x→x_0 ) f(x)=L hay
f(x)→L khi x→x_0.
Ví dụ 1 (SGK -tr.72)
Nhận xét
lim┬(x→x_0 ) x_o=x_o;
lim┬(x→x_0 ) c=c (c là hằng số).
Thực hành 1
a) Giả sử (x_n ) là dãy số bất kì, thoả mãn x_n≠3 với mọi n và x_n→3 khi n→+∞. Ta có
lim(2x_n^2-x_n )=2(limx_n )^2-limx_n=2⋅3^2-3=15." "
Vậy lim┬(x→3)  (2x^2-x)=15.
b) Giả sử (x_n ) là dãy số bất kì, thoả mãn x_n≠-1 với mọi n và x_n→-1 khi n→+∞. Ta có
lim (x_n^2+2x_n+1)/(x_n+1)=lim (x_n+1)^2/(x_n+1)=lim(x_n+1)=limx_n+1=-1+1=0.
Vậy lim┬(x→-1) (x^2+2x+1)/(x+1)=0.
2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
HĐKP 2
a) Ta có lim[f(x_n )+g(x_n )]=lim(2x_n+x_n/(x_n+1))
=2limx_n+lim(x_n/(x_n+1))=2⋅1+1/(1+1)=5/2.
b) Vì lim[f(x_n )+g(x_n )]=5/2
nên lim┬(x→1) [f(x)+g(x)]=5/2.
Ta có: limf(x_n )=lim(2x_n )=2lim(x_n )=2⋅1=2
⇒lim┬(x→1)⁡〖f(x)=2;〗 
limg(x_n )=lim x_n/(x_n+1)=(limx_n)/(limx_n+1)=1/(1+1)=1/2
⇒lim┬(x→1) g(x)=1/2.
Do đó lim┬(x→1) f(x)+lim┬(x→1) g(x)=2+1/2=5/2.
Từ (1) và (2) suy ra
lim┬(x→1) [f(x)+g(x)]=lim┬(x→1) f(x)+lim┬(x→1) g(x).
Kết luận
+ Cho lim┬(x→x_0 ) f(x)=L vàlim┬(x→x_0 ) g(x)=M. Khi đó
■(&lim┬(x→x_0 ) [f(x)+g(x)]=L+M;@& lim┬(x→x_0 ) [f(x)-g(x)]=L-M;@& lim┬(x→x_0 ) [f(x)⋅g(x)]=L⋅M;@& lim┬(x→x_0 ) (f(x))/(g(x))=L/M," nếu " M≠0.)
+ Nếu f(x)≥0 và lim┬(x→x_0 ) f(x)=L
thì L≥0 và lim┬(x→x_0 ) √(f(x))=√L.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x≠x_o)
Nhận xét:
a) lim┬(x→x_0 ) x^k=x_o^k, k là số nguyên dương;
b) lim┬(x→x_0 ) [cf(x)]=c lim┬(x→x_0 ) f(x) (c∈R, nếu tồn tại lim┬(x→x_0 ) f(x)∈R)
Ví dụ 2 (SGK -tr.73)
Ví dụ 3 (SGK -tr.73)
Thực hành 2
a)lim┬(x→-2) (x^2+5x-2)
=lim┬(x→-2) x^2+5 lim┬(x→-2)  x-lim┬(x→-2) 2
=(-2)^2+5⋅(-2)-2=4-10-2=-8.
b) (lim)┬(x→1)  (x^2-1)/(x-1)=(lim)┬(x→1) (x-1)(x+1)/((x-1) )=(lim)┬(x→1) (x+1)
=(lim)┬(x→1) x+1=1+1=2.
3. GIỚI HẠN MỘT PHÍA
HĐKP 3:
a) Khi x_n∈(1;2,5) thì f(x_n )=7 nên limf(x_n )=7.
b) Khi x_n^'∈(0;1) thì f(x_n^' )=6 nên limf(x_n^' )=6.
c) Ta thấy, mặc dù limx_n=limx_n^'=1 nhưng limf(x_n )≠limf(x_n^' ).
Kết luận
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x_0;b). Ta nói y=f(x) có giới hạn bên phải là số L khi x→x_0 nếu với dãy số (x_n ) bất kì thoả mãn x_0<x_n<b và x_n→x_0, thì f(x_n )→L, kí hiệu (lim)┬(x→x_0^+ ) f(x)=L.
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (〖a;x〗_0 ). Ta nói y=f(x) có giới hạn bên trái là số L khi x→x_0 nếu với dãy số (x_n ) bất kì thoả mãn a<x_n<x_o và x_n→x_0, thì f(x_n )→L, kí hiệu (lim)┬(x→x_0^- ) f(x)=L.
Chú ý:
a)
(lim)┬(x→x_o^+ )⁡〖f(x)〗=L và (lim)┬(x→x_o^- )⁡〖f(x)〗=L khi và chỉ khi (lim)┬(x→x_o )⁡〖f(x)〗=L
Nếu (lim)┬(x→x_o^+ )⁡f(x)=L≠(lim)┬(x→x_o^- )⁡f(x)=L thì không tồn tại (lim)┬(x→x_o )⁡f(x).
b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi ta thay x→x_o bằng x→x_o^+ hoặc x→x_o^-.
Ví dụ 4 (SGK -tr.74)
Thực hành 3
Cách 1: Sử dụng dãy số như định nghĩa.
Cách 2: (Sử dụng biểu thức xác định hàm số trên từng khoảng)
Với x<-1,f(x)=1-2x nên
(lim)┬(x→-1^- ) f(x)=(lim)┬(x→-1^- ) (1-2x)=1-2.(-1)=3.
Với x>-1,f(x)=x^2+2 nên
(lim)┬(x→-1^+ ) f(x)=(lim)┬(x→-1^+ ) (x^2+2)=(-1)^2+2=3.
Do (lim)┬(x→-1^+ ) f(x)=(lim)┬(x→-1^- ) f(x)=3 nên (lim)┬(x→-1) f(x)=3.
4. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
HĐKP 4
a)
x 10 100 1 000 10 000 100 000
y=f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Giá trị của f(x) dần về 0 khi x dần tới +∞.
b)
x -100 000 -10 000 -1 000 -100 -10
y=f(x) -0,0001 -0,00001 -0,001 -0,01 -0,1
Giá trị của f(x) dần về 0 khi x dần tới -∞.
*) Sử dụng giới hạn dãy số
Xét hàm số f(x)=1/x. Lấy dãy số (x_n ) bất kì sao cho x_n≠0 và lim⁡〖x_n 〗=+∞. Khi đó
lim⁡f(x_n )=lim⁡(1/x_n )=0
Kết luận
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x→+∞ nếu với dãy số (x_n ) bất kì, x_n> a và x_n→+∞, ta có f(x_n )→L,
kí hiệu (lim)┬(x→+∞) f(x)=L hay f(x)→L khi x→+∞.
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x→-∞ nếu với dãy số (x_n ) bất kì, x_n<b và x_n→-∞, ta có f(x_n )→L, kí hiệu (lim)┬(x→-∞) f(x)=L hay f(x)→L khi x→-∞.
Ví dụ 5 (SGK -tr.76)
Chú ý
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có: (lim)┬(x→±∞) c=c;(lim)┬(x→±∞) 1/x^k =0.
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Ví dụ 6 (SGK -tr.76)
Thực hành 4
a) (lim)┬(x→+∞) (1-3x^2)/(x^2+2x)=(lim)┬(x→+∞) (1/x^2 -3)/(1+2/x)
=((lim)┬(x→+∞) (1/x^2 -3))/((lim)┬(x→+∞) (1+2/x) )=((lim)┬(x→+∞) 1/x^2 -3)/(1+(lim)┬(x→+∞) 2/x)=(0-3)/(1+0)=-3;
b) (lim)┬(x→-∞) 2/(x+1)=(lim)┬(x→-∞) (2/x)/(1+1/x)
=((lim)┬(x→-∞) 2/x)/((lim)┬(x→-∞) (1+1/x) )=((lim)┬(x→-∞) 2/x)/(1+(lim)┬(x→-∞) 1/x)=0/(1+0)=0.
Vận dụng 1
a) Khối lượng muối có trong hồ là 200.10=2000( kg).
Sau t phút, lượng nước trong hồ là 200+2t(〖 m〗^3 ).
Nồng độ muối tại thời điểm t phút kể từ khi bơm là C(t)=2000/(200+2t) ( kg/m^3 ).
b)
(lim)┬(t→+∞) C(t)=(lim)┬(t→+∞) 2000/(200+2t)
=(lim)┬(t→+∞) (2000/t)/(200/t+2)=((lim)┬(t→+∞) 2000/t)/((lim)┬(t→+∞) (200/t+2) )
=(2000.(lim)┬(t→+∞) 1/t)/(2000 (lim)┬(t→+∞) 1/t+2)=2000.0/(200.0+2)=0.
Điều này có nghĩa là khi t càng lớn thì nồng độ muối càng dần về 0 , tức đến một lúc nào đó nồng độ muối trong hồ không còn đáng kể và nước trong hồ gần như là nước ngọt.
5. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
HĐKP 5
a)
x 1,1 1,01 1,001 1,0001
y=f(x) 10 100 1000 10 000
Giá trị của f(x) trở nên rất lớn khi x dần tới 1 phía bên phải.
b)
x 0,9 0,99 0,999 0,9999
y = f(x) -10 -100 -1000 -10000

Giá trị của f(x) trở nên rất bé (giá trị của -f(x) trở nên rất lớn) khi x dần tới 1 phía bên trái.
Kết luận
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x_0;b).
+ Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x→x_0 về bên phải nếu với dãy số (x_n ) bất kì thoả mãn x_0<x_n<b,x_n→x_0, thì f(x_n )→+∞, kí hiệu (lim)┬(x→x_0^+ )⁡〖f(x)〗 =+∞.
+ Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên phải là -∞ khi x→x_0 về bên phải nếu với dãy số (x_n ) bất kì thoả mãn x_0<x_n<b,x_n→x_0, thì f(x_n )→-∞, kí hiệu (lim)┬(x→x_0^+ )⁡〖f(x)〗 =-∞.
Chú ý:
- Các giới hạn (lim)┬(x→x_0^- ) f(x)=+∞,(lim)┬(x→x_0^- ) f(x)=-∞,(lim)┬(x→+∞) f(x)=+∞,(lim)┬(x→+∞) f(x)=-∞,(lim)┬(x→-∞) f(x)=+,(lim)┬(x→-∞) f(x)=+∞ được định nghĩa tương tự.
- Các giới hạn thường dùng
(lim)┬(x→a^+ ) 1/(x-a)=+∞,(lim)┬(x→a^- ) 1/(x-a)=-∞ (a∈R)
(lim)┬(x→+∞) x^k=+∞, k là số nguyên dương;
(lim)┬(x→-∞) x^k=+∞, k là số nguyên dương chẵn;
(lim)┬(x→-∞) x^k=-∞, k là số nguyên dương lẻ.
c) Các phép toán trên giới hạn hàm số chỉ áp dụng khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn.
Với giới hạn vô cực, ta có
(lim)┬(x→x_o^+ ) f(x)=L≠0 và(lim)┬(x→x_o^+ ) g(x)=+∞ (hoặc -∞ ). Khi đó(lim)┬(x→x_o^+ ) [f(x).g(x)] tính theo quy tắc

(lim)┬(x→x_o^+ ) f(x) (lim)┬(x→x_o^+ ) g(x) (lim)┬(x→x_o^+ ) f(x)g(x)
L>0 +∞ +∞
-∞ -∞
L<0 +∞ -∞
-∞ +∞
Các quy tắc trên vẫn đúng cho trường hợp: x→x_o^- (hoặc+∞,-∞).
Quy tắc tìm giới hạn của thương (f(x))/(g(x)).
(lim)┬(x→x_o^+ ) f(x) (lim)┬(x→x_o^+ ) g(x) Dấu của g(x) (lim)┬(x→x_o^+ ) (f(x))/(g(x))
L ±∞ Tuý ý 0
L>0 0 + +∞
- -∞
L<0 0 + -∞
- +∞
Ví dụ 7 (SGK -tr.78)
Thực hành 5
a) (lim)┬(x→3^- )  2x=6 và (lim)┬(x→3^- )  1/(x-3)=-∞
nên (lim)┬(x→3^- )  2x/(x-3)=(lim)┬(x→3^- )  (2x⋅1/(x-3))=-∞;
b) (lim)┬(x→+∞) (3-1/x)=3 và (lim)┬(x→+∞) x=+∞
nên (lim)┬(x→+∞) (3x-1)=(lim)┬(x→+∞) [x(3-1/x)]=+∞.
Vận dụng 2
Ta có S(x)=x⋅1/x^2 =1/x.
(lim)┬(x→0^+ ) S(x)=(lim)┬(x→0^+ ) 1/x=+∞;(lim)┬(x→+∞) S(x)=(lim)┬(x→+∞)  1/x=0.