Nội dung chính Toán 11 chân trời Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. a) Giới hạn 0 của dãy số

HĐKP 1: .

1. a)

1. b) .

Ta có:  khi

 khi .

1. c)

Khoảng cách từ  đến 0 trở nên rất bé khi n trở nên rất lớn.

Kết luận

Ta nói dãy số  có giới hạn 0 khi  dần tới dương vô cực, nếu  nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi . Ta còn viết là .

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Với dãy số  ở , sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim .

Giải

Với số thực dương  bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên  sao cho . Khi đó, với mọi số tự nhiên  sao cho , ta có .

Theo định nghĩa, .

Giới hạn cơ bản:

, với  nguyên dương bất kì.

, với  là số thực thoả mãn .

Ví dụ 2 (SGK – tr. 65)

Thực hành 1:

1. a) vì , với nguyên dương bất kì.
2. b) vì , với là số thực thoả mãn  trong trường hợp này .
3. b) Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 2:

1. a)
2. b)

Nhận xét: Điểm  càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

Kết luận:

Ta nói dãy số  có giới hạn hũu hạn là số  (hay  dần tới  ) khi  dần tới dương vô cực, nếu lim . Khi đó, ta viết  hay  hay  khi .

Chú ý: Nếu  là hằng số) thì .

Ví dụ 3 (SGK – tr.65)

Thực hành 2:

1. a) , suy ra .
2. b) , suy ra .

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

HĐKP 3:

1. a)
2. b) .

Kết luận

Cho  và  là hằng số. Khi đó:

• Nếu thi  và

Ví dụ 4 (SGK – tr.66)

Thực hành 3:

1. a) ;
2. b)

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

HĐKP 4:

1. a) ,
2. b)
3. c) .

Giới hạn này bằng diện tich của hình vuông ban đầu.

Kết luận:

Cấp số nhân vô hạn  có công bội  thoả mãn  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lủi vô hạn này có tổng là

Thực hành 4:

Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu  và công bội

.

Vận dụng 1:

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC

HĐKP 5:

1. a)

;

.

1. b) . Vậy với những số tự nhiên thi .

Kết luận:

+ Ta nói dãy số  có giới hạn là  khi nếu  lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, ki hiệu  hay  khi .

+ Ta nói dãy số  có giói hạn là  khi  nếu , kí hiệu  hay  khi .

Chú ý: Ta có các kết quả sau:

1. a) khi và chỉ khi ;
2. b) Nếu hoặc

thì

1. c) Nếu và với mọi n thì .

Ví dụ 7 (SGK – tr.69)

Nhận xét:

1. a) ;
2. b) .