Nội dung chính Toán 8 chân trời sáng tạo Chương 1 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

CHƯƠNG 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 3. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, HIỆU

HĐKP1:

1. a) Ta xét các cách tính diện tích của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

Cách 1: Tính diện tích của hình vuông được ghép bởi 4 hình:

+ Cạnh của hình vuông ABCD được tạo thành là: a + b.

+ Diện tích S của các phần tô màu chính là diện tích của hình vuông ABCD, và bằng:

S = (a + b)2 .

Do đó kết quả của bạn An là đúng.

Cách 2: Tính diện tích mỗi hình:

+ Diện tích hình vuông màu vàng AEHG là: a2.

+  Diện tích hình vuông màu xanh HICK là: b2.

+ Diện tích hình chữ nhật màu hồng EBIH là: ab.

+ Diện tích hình chữ nhật màu hồng GHKD là: ba.

+ Diện tích S của các phần tô màu là: 

a2 + b2 + ab + ba.

Do đó kết quả của bạn Mai là đúng.

Cách 3: Tính tổng diện tích hai hình chữ nhật ABIG và GICD (hình vẽ dưới đây).

+ Diện tích hình chữ nhật ABIG là: 

a.(a + b) = a.a + a.b = a2 + ab.

+ Diện tích hình chữ nhật GICD là: 

(a + b).b = a.b + b.b = ab + b2.

+ Diện tích S của các phần tô màu là: 

a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Vậy kết quả của bạn Bình là đúng.

Kết luận:

- Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau và mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay hằng đẳng thức.

- Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

(A+B)2 =  A2 + 2AB + B2

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

Ví dụ 1: (SGK – tr19)

Ví dụ 2: (SGK – tr19)

Ví dụ 3: (SGK – tr19)

Thực hành 1:

1. a) (3x + 1)2

= (3x)2 + 2.3x.1 + 12

= 9x2 + 6x + 1.

1. b) (4x + 5y)2

= (4x)2 + 2.4x.5y + (5y)2

= 16x2 + 40xy + 25y2.

2. c) 5x-122=5x2+2.5.x.12+122

=252+5.x+14 

1. d) (–x + 2y2)2

= (–x)2 + 2.(–x).2y2 + (2y2)2

= x2 – 4xy2 + 4y4.

Thực hành 2:

1. a) a2+ 10ab + 25b2

= a2 + 2.a.5b + (5b)2

= (a + 5b)2.

1. b) 1 + 9a2– 6a

= 1 – 6a + 9a2

= 12 – 2.1.3a + (3a)2

= (1 – 3a)2.

Hoặc ta có thể viết như sau:

1 + 9a2 – 6a

= 9a2 – 6a + 1

= (3a)2 – 2.3a.1 + 12

= (3a – 1)2.

Thực hành 3.

2. a) 522= (50 + 2)2= 502 + 2.50.2 + 22 

= 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

2. b) 982= (100 – 2)2= 1002 – 2.100.2 + 22 

= 10 000 – 400 + 4 = 9 604.

Vận dụng 1.

1. a) Mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) nên mảnh vườn lúc này có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 10 + x (m).

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là:

(10 + x)2 = 102 + 2.10.x + x2 

= 100 + 20x + x2 (m2).

Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là 100 + 20x + x2 (m2).

1. b) Mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng có độ dài cạnh là: x – 5 (m).

Diện tích mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng là:

(x – 5)2 = x2 – 2.x.5 + 52 = x2 – 10x + 25 (m2).

Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng là x2 – 10x + 25 (m2).

2. HIỆU CỦA HAI BÌNH PHƯƠNG 

HĐKP2.

+ Diện tích hình vuông ABCD là: a2.

+ Diện tích hình vuông EGHD là: b2.

+ Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là: a2 – b2.

+ Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a + b.

+ Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a – b.

+ Diện tích hình chữ nhật (phần tô màu) trong Hình 3b là: (a + b)(a – b).

1. b) Ta có:

(a + b)(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – ab + ba – b.b = a2 – b2.

Vậy hai hình trên có diện tích bằng nhau.

Kết luận:

Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

A2 – B2 = (A + B). (A - B)

Ví dụ 4. (SGK-tr20)

Ví dụ 5 (SGK-tr20)

Thực hành 4.

2. a) (4 – x).(4 + x) = 42– x2= 16 – x2.
3. b) (2y + 7z).(2y – 7z) = (2y)2– (7z)2= 4y2 – 49z2.
4. c) (x + 2y2).(x – 2y2) = x2– (2y2)2= x2 – 4y4.

Thực hành 5.

396. a) 82 . 78 = (80 + 2).(80 – 2) = 802– 22= 6 400 – 4 = 6 396.
397. b) 87 . 93 = (90 – 3).(90 + 3) = 902– 32= 8 100 – 9 = 8 091.
398. c) 1252– 252= (125 + 25).(125 – 25) = 150 . 100 = 15 000.

Vận dụng 2.

652 – 352 = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9 996.

3. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

HĐKP 3.

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

= a.a2 + a.2ab + a.b2 + b.a2 + b.2ab + b.b2

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

(a – b)3 = (a – b)(a – b)2

 = (a – b)(a2 – 2ab + b2)

= a(a2 – 2ab + b2) – b(a2 – 2ab + b2)

= a.a2 – a.2ab + a.b2 – b.a2 + b.2ab – b.b2

= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3

= a3 – (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) – b3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Kết luận:

Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

A+B2=A3+3A2B+3AB2+B3

A-B2=A3-3A2B+3AB2-B3

Ví dụ 6: SGK – tr21

Thực hành 6. 

1. a) (x + 2y)3

= x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3

= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.

1. b) (3y – 1)3

= (3y)3 – 3.(3y)2.1 + 3.3y.12 – 13

= 27y3 – 27y2 + 9y – 1.

Vận dụng 3. 

Phần lòng trong của thùng chứa có dạng hình lập phương với độ dài cạnh là:

x – 3 – 3 = x – 6 (cm).

Thể tích phần lòng trong của thùng là:

(x – 6)3 = x3 – 3.x2.6 + 3.x.62 – 63

             = x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).

Vậy dung tích (sức chứa) của thùng là x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).