Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 5 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

BÀI 2 : HOÁN VỊ. CHỈNH HỢP (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Có tất cả bao nhiêu cách xếp 7 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?

Trả lời:

Số cách xếp là : 7! = 5040 ( cách)

Bài 2: Lớp 10A có 45 bạn học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và một bạn khác làm bí thư ?

Trả lời:

Số cách chọn là :  = 1980 ( cách)

Bài 3: Một nhóm học sinh có 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 công việc là quét nhà, lau bảng và tưới cây, mỗi người làm một công việc ?

Trả lời:

Số cách chọn là :  = 720 ( cách)

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn Minh, Hiếu, Hưng, Khánh vào hai chỗ ngồi cho trước ?

Trả lời:

Số cách xếp là :  = 12 ( cách)

Bài 2: Tính giá trị biểu thức

a) K =                                          b) M =

Trả lời:

a) K =  =  = 2

b) M =  = ( n – 1)(n + 1) = n2 – 1

Bài 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300; 500) ?

Trả lời:

+) Chữ số hàng trăm là 3 => có  +) Chữ số hàng trăm là 3 => có  = 12 ( số)

+) Chữ số hàng trăm là 4 => có  +) Chữ số hàng trăm là 4 => có  = 12 ( số)

=> Có : 12 + 12 = 24 (số)

Bài 4: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ?

Trả lời:

Xếp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=> có : 6!.  = 43200 ( cách)

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau ?

Trả lời:

+) TH1 : chữ số hàng đơn vị là 0 +) TH1 : chữ số hàng đơn vị là 0

     Có   cách chọn hai chữ số hàng trăm và hàng chục

     => Có : 1.  = 72 ( số)

+) TH2 : chữ số hàng đơn vị ≠ 0 => có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( 2; 4; 6; 8) +) TH2 : chữ số hàng đơn vị ≠ 0 => có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( 2; 4; 6; 8)

     Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm, 8 cách chọn chữ số hàng chục

     => Có : 4. 8. 8 = 256 ( số)

Vậy có tất cả : 72 + 256 = 328 ( số)

Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 đứng giữa hai chữ số 1 và 3 ?

Trả lời:

Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.

*TH1: Số cần lập có bộ ba số 123.

  - Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng  - Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng  .

    Có 4 chữ số a , b , c , d nên có  = 840 số.

  - Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123.  - Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123.

    Có 6 cách chọn số đứng đầu và có  =120 cách chọn các chữ số còn lại.

    Theo quy tắc nhân có 6. 4.  = 2880 số

 => Có 840 + 2880 = 3720 số.

*TH2: Số cần lập có bộ ba số 321.

Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 3720 số

Vậy có : 3720 . 2= 7440 ( số)

Bài 3 : Rút gọn biểu thức T =

Trả lời:

T =  =  =  =  = ( n – 4)2

Bài 4 : Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ?

Trả lời:

Số cần tìm không chia hết cho 5 => có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( 1; 2; 3)

Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, có  cách chọn chữ số hàng trăm và hàng chục

=> Có : 3. 3.  = 54 ( số)

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?

Trả lời:

Số cần tìm có dạng

Ta có f  {1; 3; 5} và ( a + b + c) – ( d + e + f) = 1

* Nếu f =1 => ( a + b + c) – ( d + e) = 2

   => a, b, c  {2; 3; 6} ; d, e  {4; 5}

   hoặc a, b, c  {2; 4; 5} ; d, e  {3; 6}

* Nếu f = 3 => ( a + b + c) – ( d + e) = 4

   => a, b, c  {2; 4; 5} ; d, e  {1; 6}

   hoặc a, b, c  {1; 4; 6} ; d, e  {2; 5}

* Nếu f = 5 => ( a + b + c) – ( d + e) = 6

   => a, b, c  {2; 3; 6} ; d, e  {1; 4}

   hoặc a, b, c  {1; 4; 6} ; d, e  {2; 3}

Mỗi trường hợp có : 3!. 2! = 12 ( số)

Vậy có tất cả 12. 6 = 72 ( số)

Bài 2: Giải phương trình :  + 3. + 3. = 336

Trả lời:

  + 3. + 3. = 336 ( điều kiện x  N; x ≥ 3)

ó  + 3. + 3. = 336

ó x(x – 1)(x – 2) + 3.x.( x- 1) = 336

ó x3 – 3x2 + 2x + 3x2 – 3x = 336

ó x3 – x = 336

ó x = 7 ( vì x  N; x ≥ 3)

Vậy phương trình có nghiệm x = 7

Bài 3 : Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350 ?

Trả lời:

Số cần tìm có dạng

*TH1 : a = 4 hoặc a = 5

Chọn b và c trong 5 chữ số còn lại => có  cách

=> có 2.  = 40 ( số)

*TH2 : a = 3 ; b = 5 => c  {1; 2; 4} => có 3 số

Vậy có tất cả : 40 + 3 = 43 ( số)

Bài 4 : Cho 5 chữ số 1; 2; 3; 4; 6. Lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.

Trả lời:

Số số lập được là :  = 60 ( số)

Do vai trò của các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 như nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số này ở mỗi hàng ( hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) là như nhau và bằng : 60 : 5 = 12 ( lần)

Vậy tổng các số lập được là : 12.( 1 + 2 + 3 + 4 + 6). (100 + 10 + 1) = 21312