Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 3 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

BÀI 3: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai ?

M = 2x2 – 3x + 2023                  N = y + 2y – 25                P = x + 185

Q = x2 + 38                                 S = x – 2y + 95                T = x + y - 685

Trả lời:

Tam thức bậc hai là : M, Q

Bài 2: Cho hàm số bậc hai y = x2 – 2x – 3. Xác định hệ số a. Tính f(2) ; f(0) ; f(-3); f(7) và nhận xét dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

Trả lời:

Hệ số a = 1

f(2) = 22 – 2.2 – 3 = -3 ( trái dấu với a)

f(0) = 02 – 2.0 – 3 = -3 ( trái dấu với a)

f(-3) = (-3)2 – 2.(-3) – 3 = 12 ( cùng dấu với a)

f(7) = 72 – 2.7 – 3 = 32 ( cùng dấu với a)

Bài 3: Lập bảng xét dấu của tam thức g(x) = x2 – 2x - 48

Trả lời:

Δ = (-2)2 – 4.1.(-48) = 196 > 0 => f(x) có hai nghiệm phân biệt x = 8 ; x = -6

Ta có bảng xét dấu :

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y =

Trả lời:

Hàm số xác định ó -x2 + 2x – 35 ≥ 0 ó - 5 ≤ x ≤ 7

Vậy tập xác định của hàm số là D = [-5; 7]

Bài 2: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau :

a) g(x) = 5x2 – 2x + 7                           b) h(x) = -3x2 + 8x - 1

Trả lời:

a) Δ = (-2)2 – 4.5.7 = -136 < 0 ; hệ số a = 5 > 0 => g(x) > 0 x

b) Δ = 82 – 4.(-3).(-1) = 52 > 0 ;

 phương trình có 2 nghiệm x1 =  = ; x2 =  =

=> h(x) < 0 khi x <  hoặc x >

     h(x) > 0 khi  < x <

Bài 3: Giải bất phương trình sau : 6x2 + 5x + 2 ≤ 0

Trả lời:

Xét tam thức f(x) = 6x2 + 5x + 2 có Δ = 52 – 4. 6. 2 = -23 < 0

=> f(x) luôn dương ( cùng dấu với a)

hay 6x2 + 5x + 2 > 0 với mọi x => bất phương trình 6x2 + 5x + 2 ≤ 0 vô nghiệm.

Bài 4: Lập bảng xét dấu của g(x) = x2 + x - 72

Trả lời:

g(x) = x2 + x – 72 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = -9; x2 = 8 và hệ số a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu :

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Chứng minh biểu thức f(x) = 7x2 – 5x + 8 luôn dương  x

Trả lời:

Δ = ( -5)2 – 4. 7. 8 = -199 < 0

Hệ số a = 7 > 0 => f(x) > 0  x

Bài 2 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

                                         ( m + 4)x2 < 2.(mx – m + 3)

Trả lời:

+) m = - 4 ta có 0 < -8x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x +) m = - 4 ta có 0 < -8x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x

+) m ≠ -4  +) m ≠ -4

ó (m + 4)x2 – 2mx + 2m – 6 < 0 với mọi x

ó a < 0 ; Δ’ < 0

ó m + 4 < 0 ; -m2 – 2m + 24 < 0

ó m < -4 ; m < -6 hoặc m > 4

ó m < -6

Vậy m < -6

Bài 3: Tìm m để biểu thức sau luôn nhận giá trị âm

                     g(x) = (m – 5)x2 + (2m – 10)x + m - 6

Trả lời:

+) m = 5 : g(x) = -1 < 0 ( đúng với mọi x ) +) m = 5 : g(x) = -1 < 0 ( đúng với mọi x )

+) m ≠ 5 : g(x) < 0 với mọi x  +) m ≠ 5 : g(x) < 0 với mọi x ó a < 0 và Δ’ < 0

ó m – 5 < 0 ; (m – 5)2 – (m – 5)(m – 6)  < 0

ó m < 5 ; m – 5 < 0 ó m < 5

Kết hợp hai trường hợp ta được m ≤ 5

Bài 4: Chứng minh tam thức bậc hai sau luôn vô nghiệm với mọi giá trị của m.

          f(x) = x2 – 2(m – 2)x + 2m2 + m + 10 = 0

Trả lời:

f(x) có Δ’ = ( m + 2)2 – (2m2 + m +10) = -m2  + 3m – 6 + 3m – 6

Đặt h(m) = -m2 + 3m – 6 có Δ = - 15 < 0

Bảng xét dấu h(m)

Do đó f(x) có Δ’ < 0 m. Vậy tam thức bậc hai f(x) luôn vô nghiệm m.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 2: Tìm các giá trị của m để bất phương trình  x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2]

Trả lời:

+) Δ’ = m +) Δ’ = m2 ≥ 0 => có 2 nghiệm x1 = 1 – m và x2 = 1 + m

+) m = 0 => x +) m = 0 => x2 – 2x + 1 ≤ 0 ; x = 1 (không thỏa mãn)

+) m > 0 => x +) m > 0 => x1 = 1 – m < x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 - m ; 1 + m]

   Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ó  [1 ; 2] ⸦ [1 - m ; 1 + m]

   ó 1 – m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 + m

   ó m ≥ 0 ; m ≥ 1 ó m ≥ 1

 +) m < 0 => x +) m < 0 => x1 = 1 – m > x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 + m ; 1 - m]

   Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ó  [1 ; 2] ⸦ [1 + m ; 1 - m]

   ó 1 + m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 - m

   ó m ≤ 0 ; m ≤ -1 ó m ≤ -1

Vậy m ≥ 1 hoặc m ≤ -1

Bài 2: Lập bảng xét dấu của g(x) = x -

Trả lời:

Ta có :

g(x) = x -  =  =

x – 1 = 0 ó x = 1

-x -x2 + x + 6 = 0 ó x = -2 hoặc x = 3

-x -x2 + 3x + 4 = 0 ó x = -1 hoặc x = 4

Ta có bảng xét dấu :

Vậy h(x) < 0 ó x  ( -; -2)  ( -1; 1)  ( 3; 4)

        h(x) > 0 ó x  ( -2; -1)  ( 1; 3)  (4;  + +)

Bài 3: Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của x để diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm2 .

Trả lời:

Diện tích viên gạch là : EF2 = (20-x)2 + x2 = 2x2 – 40x + 400

Ta có 2x2 – 40x + 400 ≤ 208 ó 2x2 – 40x + 192 ≤ 0

Đặt f(x) = 2x2 – 40x + 192

Bảng xét dấu

=> f(x) ≤ 0 ó 8 ≤ x ≤ 12

Bài 4: Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao y ( mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian t ( giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là 21m và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm t lớn nhất là bao nhiêu ( t nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên 10m so với mặt đất ?

Trả lời:

Xét hàm số bậc hai f(t) = at2 + bt + x ( a ≠ 0)

Theo giả thiết ta có : c = 0;  = 3; 9a + 3b + c = 21

ó c = 0 ; b = 14 ; a =  => f(t) = t2 + 14 t

f(t) = 0 ó t1 =   0,83 ; t2 =   5,17

Ta có bảng xét dấu :

f(t) > 0 ó t1 < t < t2 ó 0,82 < t < 5,17

Vì t là số nguyên => t  [1; 5]

Vậy t = 5 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.