Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 3 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai
Bộ câu hỏi tự luận toán 10 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận chương 3 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai. Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 10 cánh diều
BÀI 3: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI (15 CÂU)
1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)
Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai ?
M = 2x2 – 3x + 2023 N = y + 2y – 25 P = x + 185
Q = x2 + 38 S = x – 2y + 95 T = x + y - 685
Trả lời:
Tam thức bậc hai là : M, Q
Bài 2: Cho hàm số bậc hai y = x2 – 2x – 3. Xác định hệ số a. Tính f(2) ; f(0) ; f(-3); f(7) và nhận xét dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
Trả lời:
Hệ số a = 1
f(2) = 22 – 2.2 – 3 = -3 ( trái dấu với a)
f(0) = 02 – 2.0 – 3 = -3 ( trái dấu với a)
f(-3) = (-3)2 – 2.(-3) – 3 = 12 ( cùng dấu với a)
f(7) = 72 – 2.7 – 3 = 32 ( cùng dấu với a)
Bài 3: Lập bảng xét dấu của tam thức g(x) = x2 – 2x - 48
Trả lời:
Δ = (-2)2 – 4.1.(-48) = 196 > 0 => f(x) có hai nghiệm phân biệt x = 8 ; x = -6
Ta có bảng xét dấu :
| x | -∞ -6 8 +∞ |
| f(x) | + 0 - 0 + |
2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y =
Trả lời:
Hàm số xác định ó -x2 + 2x – 35 ≥ 0 ó - 5 ≤ x ≤ 7
Vậy tập xác định của hàm số là D = [-5; 7]
Bài 2: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau :
a) g(x) = 5x2 – 2x + 7 b) h(x) = -3x2 + 8x - 1
Trả lời:
a) Δ = (-2)2 – 4.5.7 = -136 < 0 ; hệ số a = 5 > 0 => g(x) > 0 x
b) Δ = 82 – 4.(-3).(-1) = 52 > 0 ;
phương trình có 2 nghiệm x1 = = ; x2 = =
=> h(x) < 0 khi x < hoặc x >
h(x) > 0 khi < x <
Bài 3: Giải bất phương trình sau : 6x2 + 5x + 2 ≤ 0
Trả lời:
Xét tam thức f(x) = 6x2 + 5x + 2 có Δ = 52 – 4. 6. 2 = -23 < 0
=> f(x) luôn dương ( cùng dấu với a)
hay 6x2 + 5x + 2 > 0 với mọi x => bất phương trình 6x2 + 5x + 2 ≤ 0 vô nghiệm.
Bài 4: Lập bảng xét dấu của g(x) = x2 + x - 72
Trả lời:
g(x) = x2 + x – 72 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 = -9; x2 = 8 và hệ số a = 1 > 0
Ta có bảng xét dấu :
| x | - -9 8 + |
| g(x) | + + 0 - - 0 + + |
3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)
Bài 1: Chứng minh biểu thức f(x) = 7x2 – 5x + 8 luôn dương x
Trả lời:
Δ = ( -5)2 – 4. 7. 8 = -199 < 0
Hệ số a = 7 > 0 => f(x) > 0 x
Bài 2 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
( m + 4)x2 < 2.(mx – m + 3)
Trả lời:
+) m = - 4 ta có 0 < -8x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x +) m = - 4 ta có 0 < -8x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x
+) m ≠ -4 +) m ≠ -4
ó (m + 4)x2 – 2mx + 2m – 6 < 0 với mọi x
ó a < 0 ; Δ’ < 0
ó m + 4 < 0 ; -m2 – 2m + 24 < 0
ó m < -4 ; m < -6 hoặc m > 4
ó m < -6
Vậy m < -6
Bài 3: Tìm m để biểu thức sau luôn nhận giá trị âm
g(x) = (m – 5)x2 + (2m – 10)x + m - 6
Trả lời:
+) m = 5 : g(x) = -1 < 0 ( đúng với mọi x ) +) m = 5 : g(x) = -1 < 0 ( đúng với mọi x )
+) m ≠ 5 : g(x) < 0 với mọi x +) m ≠ 5 : g(x) < 0 với mọi x ó a < 0 và Δ’ < 0
ó m – 5 < 0 ; (m – 5)2 – (m – 5)(m – 6) < 0
ó m < 5 ; m – 5 < 0 ó m < 5
Kết hợp hai trường hợp ta được m ≤ 5
Bài 4: Chứng minh tam thức bậc hai sau luôn vô nghiệm với mọi giá trị của m.
f(x) = x2 – 2(m – 2)x + 2m2 + m + 10 = 0
Trả lời:
f(x) có Δ’ = ( m + 2)2 – (2m2 + m +10) = -m2 + 3m – 6 + 3m – 6
Đặt h(m) = -m2 + 3m – 6 có Δ = - 15 < 0
Bảng xét dấu h(m)
| m | - + |
| h(m) | - |
Do đó f(x) có Δ’ < 0 m. Vậy tam thức bậc hai f(x) luôn vô nghiệm m.
4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)
Bài 2: Tìm các giá trị của m để bất phương trình x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2]
Trả lời:
+) Δ’ = m +) Δ’ = m2 ≥ 0 => có 2 nghiệm x1 = 1 – m và x2 = 1 + m
+) m = 0 => x +) m = 0 => x2 – 2x + 1 ≤ 0 ; x = 1 (không thỏa mãn)
+) m > 0 => x +) m > 0 => x1 = 1 – m < x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 - m ; 1 + m]
Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ó [1 ; 2] ⸦ [1 - m ; 1 + m]
ó 1 – m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 + m
ó m ≥ 0 ; m ≥ 1 ó m ≥ 1
+) m < 0 => x +) m < 0 => x1 = 1 – m > x2 = 1 + m => tập nghiệm S = [1 + m ; 1 - m]
Bpt có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1 ; 2] ó [1 ; 2] ⸦ [1 + m ; 1 - m]
ó 1 + m ≤ 1 ; 2 ≤ 1 - m
ó m ≤ 0 ; m ≤ -1 ó m ≤ -1
Vậy m ≥ 1 hoặc m ≤ -1
Bài 2: Lập bảng xét dấu của g(x) = x -
Trả lời:
Ta có :
g(x) = x - = =
x – 1 = 0 ó x = 1
-x -x2 + x + 6 = 0 ó x = -2 hoặc x = 3
-x -x2 + 3x + 4 = 0 ó x = -1 hoặc x = 4
Ta có bảng xét dấu :
| x | - -2 -1 1 3 4 + |
| x – 1 | - - | - - | - - 0 + + | + + | + + |
| -x2 + x + 6 | - - 0 + + | + + | + + 0 - - | - - |
| -x2 + 3x + 4 | - - | - - 0 + + | + + | + + 0 - - |
| h(x) | - - 0 + + || - - 0 + + 0 - - || + + |
Vậy h(x) < 0 ó x ( -; -2) ( -1; 1) ( 3; 4)
h(x) > 0 ó x ( -2; -1) ( 1; 3) (4; + +)
Bài 3: Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của x để diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm2 .
Trả lời:
Diện tích viên gạch là : EF2 = (20-x)2 + x2 = 2x2 – 40x + 400
Ta có 2x2 – 40x + 400 ≤ 208 ó 2x2 – 40x + 192 ≤ 0
Đặt f(x) = 2x2 – 40x + 192
Bảng xét dấu
| x | -∞ 8 12 +∞ |
| f(x) | + 0 - 0 + |
=> f(x) ≤ 0 ó 8 ≤ x ≤ 12
Bài 4: Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao y ( mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian t ( giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là 21m và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm t lớn nhất là bao nhiêu ( t nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên 10m so với mặt đất ?
Trả lời:
Xét hàm số bậc hai f(t) = at2 + bt + x ( a ≠ 0)
Theo giả thiết ta có : c = 0; = 3; 9a + 3b + c = 21
ó c = 0 ; b = 14 ; a = => f(t) = t2 + 14 t
f(t) = 0 ó t1 = 0,83 ; t2 = 5,17
Ta có bảng xét dấu :
| t | - t1 t2 + |
| f(t) | - - 0 + + 0 - - |
f(t) > 0 ó t1 < t < t2 ó 0,82 < t < 5,17
Vì t là số nguyên => t [1; 5]
Vậy t = 5 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.