Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 3 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn

a) 2x2 + 3x – 5 ≤ 0             b) x + 12 < 25 – x             c) 3x – 4y ≥ 8

d) 2024x2 ≤ 12            e) x2 – 9 > 16 – y2          f) x – 8 < 0

Trả lời:

Bất phương trình bậc hai một ẩn : a; d

Bài 2: Hãy cho biết x = 1 có là nghiệm của các bất phương trình sau hay không ?

a) 2x2 + 7x + 9 ≥ 10   b) x2 – 2x + 3 < 0            c) x2 + 4 ≤ 2

Trả lời:

a) 2. 12 + 7. 1 + 9 ≥ 10 ( đúng) => x = 1 là nghiệm của bất phương trình

b) 12 – 2. 1 + 3 < 0 (sai) => x = 1 không là nghiệm của bất phương trình

c) 12 + 4 ≤ 2 (sai) => x = 1 không là nghiệm của bất phương trình

Bài 3: Trong các giá trị sau x = -2 ; x = 0 ; x = 4, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình x2 + 3x - 5 ≤ 0

Trả lời:

+) x = -2 ta có : (-2) +) x = -2 ta có : (-2)2 +3. (-2) – 5 = - 7 ≤ 0 ( đúng)

+) x = 0 ta có : 0 +) x = 0 ta có : 02 + 3. 0 – 5 = -5 ≤ 0 (đúng)

+) x = 4 ta có : 4 +) x = 4 ta có : 42 + 3. 4 – 5  = 23  ≤ 0 ( sai)

Vậy x = -2; x = 0 là nghiệm của bất phương trình

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải bất phương trình sau : 4x2 + 3x + 5 > 0

Trả lời:

Xét tam thức g(x) = 4x2 + 3x + 5 có Δ = 32 – 4. 4. 5 = -71 < 0

=> g(x) > 0 x hay 4x2 + 3x + 5 > 0 x

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Bài 2: Giải bất phương trình sau : 2x2 + 3x + 4 ≤ 0

Trả lời:

Xét tam thức f(x) = 2x2 + 3x + 4 có Δ = 32 – 4.2.4 = - 23 < 0

=> f(x) luôn dương ( cùng dấu với a)

hay 2x2 + 3x + 4 > 0 với mọi x => bất phương trình 2x2 + 3x + 4 ≤ 0 vô nghiệm.

Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm x2 – (m + 1) x + 1 = 0 vô nghiệm.

Trả lời:

Phương trình vô nghiệm ⬄ Δ < 0 ⬄ ( m + 1)2 – 4 < 0

⬄ ( m – 1)(m + 3) < 0 ⬄ - 3 < m < 1

Vậy – 3 < m < 1

Bài 4: Cho tam thức bậc hai f(x) = -x2 + 4x + 77. Tìm tất cả giá trị của x để f(x) ≥ 0

Trả lời:

f(x) = 0 ⬄ -x2 – 4x + 77 = 0 ⬄ x = -7 ; x = 11

hệ số a = -1 < 0 => f(x) ≥ 0 ⬄ x ∈ [-7 ; 11]

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để phương trình ( m – 1)x2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 + x1x2 < 1 ?

Trả lời:

Phương trình có hai nghiệm ⬄ m – 1 ≠ 0 ; Δ’ ≥ 0

⬄ m ≠ 1; ( m – 2)2 – (m – 1)( m – 3) ≥  0

⬄ m ≠ 1; 1 ≥  0 ⬄ m ≠ 1

Theo định lí Vi -ét ta có : x1 + x2 =  ; x1.x2 =

x1 + x2 + x1x2 < 1 ⬄  +  +  < 1 ⬄  < 0 ⬄ 1 < m < 3

Vậy 1 < m < 3

Bài 2 : Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là 480 – 20x ( gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

Trả lời:

Cân nặng của x con cá là : f(x) = x.(480 – 20x) = 480x – 20x2  ( 0 < x < 240)

Xét hàm số f(x) = -20x2 + 480x trên ( 0; 240) có hoành độ đỉnh x = 12

=> Với x = 12 thì giá trị lớn nhất của f(x) là : (-20). 122 + 480. 12 = 2880

Vậy thu hoạch sản lượng cá nhiều nhất thì phải thả trên một đơn vị diện tích mặt hồ 12 con cá.

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( 1 + m)x2 – 2mx + 2m = 0

Trả lời:

 +) m = -1=> 2x – 2 = 0 ⬄ x = 1 ( thỏa mãn)

 +) m ≠ -1

    Phương trình có nghiệm ⬄ Δ ≥ 0 ⬄ m2 – 2m( 1 + m) ≥ 0

⬄ m2 + 2m ≤ 0 ⬄ - 2 ≤ m ≤ 0

Vậy - 2 ≤ m ≤ 0 thì phương trình có nghiệm

Bài 4 : Giải bất phương trình ( 1 – 2x)(x2 – x – 1) > 0

Trả lời:

Ta có : ( 1 – 2x)(x2 – x – 1) = 0 ⬄ x =  ; x =

Ta có bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là

S = ( -; )  ( ; )

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để phương trình x2 – 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn  + +   ≤ 16

Trả lời:

Phương trình có nghiệm ⬄ Δ’ ≥ 0 ⬄ m2 – m – 2 ≥ 0 ⬄ m ≥ 2 hoặc m ≤ -1 (1)

Theo định lí Vi-et ta có : x1 + x2 = 2m ; x1.x2 = m + 2

 + +   ≤ 16 ⬄ 8m3 – 6m( m + 2) ≤ 16 ⬄ 8m3 – 6m2 – 12m – 16 ≤ 0

⬄ ( m – 2)(8m2 + 10m + 8) ≤ 0

⬄ m – 2 ≤ 0 ⬄ m ≤ 2 (2)

Kết hợp điều kiện (1) và (2) ta có m ≤ -1 hoặc m = 2        

Bài 2: Cho phương trình ( m – 5)x2 +2 (m – 1)x + m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 < 2 < x2

Trả lời:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⬄ m – 5 ≠ 0 ; ( m – 1)2 – m(m – 5) > 0

⬄ m ≠ 5 ; m >  (1)

Theo định lí Vi – et ta có : x1 + x2 = ; x1.x2 =

x1 < 2 < x2 => ( x1 – 2)(x2 – 2) < 0 ⬄ x1x2 – 2(x1 + x2) + 4 < 0

⬄  +  +  + 4 < 0 + 4 < 0

⬄  < 0 ⬄  < m < 5 (2)

Từ (1) và (2) =>  < m < 5

Bài 3 : Tìm m để phương trình mx3 – x2 + 3x – 8m = 0 có 3 nghiệm phân biệt > 1.

Trả lời:

Ta có : mx3 – x2 + 3x – 8m = 0 ⬄ ( x – 2)(mx2 + (2m – 1)x + 4m ) = 0

⬄ x = 2; f(x) = mx2 + (2m – 1)x + 4m = 0

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt > 1

⬄ f(x) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2

⬄ m ≠ 0 ; Δ > 0 ; f(2) ≠ 0

⬄ m ≠ 0 ;  -12m -12m2 – 4m + 1 > 0 ; 4m + 2(2m – 1) + 4m ≠ 0

⬄ m ≠ 0 ;  < m <  ; m ≠ 

⬄ m ≠ 0 ;  < m <  (1)

Theo định lí Vi- et ta có : x1 + x2 =  ; x1 + x2 = 4

1 < x1 < x2 ⬄ ( x1 – 1) + (x2 – 1) > 0 ; (x1 – 1)(x2 – 1) > 0

⬄  – 2 > 0 ; 4 -  + 1 > 0 + 1 > 0

⬄  < m <  (2)

Từ (1) và (2) =>  < m <

Bài 4 : Giải và biện luận bất phương trình (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 4m + 2 < 0

Trả lời:

* Nếu m = -1 ta có : 6x + 6 < 0 ⬄ x < -1

* Nếu m ≠ -1

    f(x) = (m + 1)x2 – 2 (2m – 1)x – 4m + 2  có hệ số a = m + 1; Δ’ = 8m2 – 2m – 1

    Ta có bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu ta có :

+) m < -1 ta có a < 0 ; Δ’ < 0  +) m < -1 ta có a < 0 ; Δ’ < 0

    => tập nghiệm bất phương trình S = (-; x1)  ( x2 ; +)

    với x1 =  ; x2 =

+) – 1 < m <  +) – 1 < m <  hoặc m >  ta có a > 0 ; Δ’ >0 => tập nghiệm S = (x1; x2)

+)  +)  ≤ m ≤  ta có a > 0 ; Δ’ ≤ 0 => g(x) ≥ 0  x => bpt vô nghiệm

=> Kết luận :

m = -1 bất phương trình có tập nghiệm S = (-; -1)

 ≤ m ≤  bất phương trình có tập nghiệm S =

m >  hoặc – 1 < m <  bất phương trình có tập nghiệm S = (x1; x2)

m < -1 bất phương trình có tập nghiệm S = (-; x1)  ( x2 ; +)

với x1 =  ; x2 =