Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 4 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

BÀI 5: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm K trên đoạn thẳng AB sao cho KB = 4. AK.

Biểu diễn vectơ  , theo

Trả lời:

 =  . ;  = .

Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G. Biểu thị vectơ , theo

Trả lời:

 =  . ;  = .

Bài 3: Cho hình bình hành MNPQ. Xác định vectơ  = 3. + 3. + 3.

Trả lời:

 = 3. + 3. + 3. = 3.( +  + ) = 3.

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Chứng minh 8.(3. ) +  – 23. =

Trả lời:

8.(3. ) +  – 23. = 24.  – 23.  +  +  =  +  +  =

Bài 2: Cho ΔMNQ. Gọi H là trung điểm MN; K thuộc MQ sao cho 2. MK = 3. KQ. Biểu diễn  theo ,

Trả lời:

 =  +  +  = . +  + .  

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB. Xác định điểm K sao cho  – 2. =

Trả lời:

 – 2. =  ó  –  =  ó  =

Vậy K là điểm đối xứng với A qua B.

Bài 4 : Cho tam giác OAB với M, N là trung điểm của OA, OB. Tìm m, n sao cho  = m. + n. + n.

Trả lời:

 =  -  -  =   -  -  .. Vậy m = 1 ; n = -

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có E là trung điểm CD. Hãy biểu diễn  theo  và

Trả lời:

+) ABCD là hình bình hành =>  +) ABCD là hình bình hành =>  =  +  +

+) E là trung điểm của CD =>  +) E là trung điểm của CD =>  +  +  = 2.

=>  +2.  +2.  = 2.  =>  =  +  + .

Bài 2: Cho ΔABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh  +  +  +  +  =

Trả lời:

Vì M, N, P là trung điểm 3 cạnh

=>  +  +  +  +  = . ( +  + ) + . ( +  + ) + . ( +  + )

= . ( +  + ) + . ( +  + ) + . ( +  + ) =

Bài 3: Cho điểm G là trọng tâm tứ giác ABCD và A′, B′, C′ , D′ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , ACD , ABD và ABC. Chứng minh rằng G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′ , BB′ , CC′ và DD′.

Trả lời:

G là trọng tâm tứ giác ABCD =>  +  +  +  +  +  +  =

A’ là trọng tâm tam giác BCD =>  +  +  +  +  = 3.

=>  = (-3).  => G; A và A’ thẳng hàng

Chứng minh tương tự :  = (-3).  ;  = (-3). ;  = (-3).

=> G, B, B’ thẳng hàng ; G, C, C’ thẳng hàng ; G, D, D’ thẳng hàng

Vậy G là điểm chung của 4 đoạn AA’, BB’, CC’, DD’

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm AB, CD. Gọi G là trung điểm MN. Chứng minh  +  +  +  +  +  +  =

Trả lời:

+) M là trung điểm AB =>  +) M là trung điểm AB =>  +  +  = 2.  

+) N là trung điểm CD =>  +) N là trung điểm CD =>  +  +  = 2.

+) G là trung điểm MN =>  +) G là trung điểm MN =>  +  +  =

=>  +  +  +  +  +  +  = 2.  + 2.  + 2.  = 2. ( +  + ) = 2.  =

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Chứng minh rằng  =  – 2. +3. +3. -  -  không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Trả lời:

Gọi O là tâm hình vuông

Ta có :

 =  – 2. +3. +3. -  -  

   = ( +  + ) -2. ( +  + ) + 3.( +  + ) – 2.( +  + )

   =  – 2. + 3. + 3. – 2.

Mà  = -  ;  = -  =>  = – 2.

=>  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 2: Cho ΔABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức  +  +  =  ;  -  -  – 3. = . Chứng minh MN // AC

Trả lời:

Ta có :  +  +  +  +  -  -  – 3. =

ó ( +  + ) + ( +  + ) – 3. =

ó  +  +  – 3. =

ó  = 2.

Do đó  cùng phương với  , mà M không thuộc đường thẳng AC => MN // AC

Bài 3: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng d ó có số x sao cho  = x.  + (1-x). + (1-x).. Với điều kiện nào của x thì M thuộc đoạn thẳng AB?

Trả lời:

 = x.  + (1-x). + (1-x). = x.(  -  - ) +

=>  -  -  = x.(  -  - ) ó  = x.  ó M ∈ d

Vì  = x.nên M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 0 ≤ x ≤1

Bài 4: Điểm M được gọi là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1. Nếu  = k. , chứng minh rằng với mọi điểm O thì  =

Trả lời:

 = k.  ó  = k. ( ) ó ( 1 – k). =  k.

Vì k ≠ 1 =>  =