Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 3 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

BÀI 5 : HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương 2 vế của phương trình ta được :

x2 – 4x – 10 = 2x + 6

⬄ x2 – 6x – 16 = 0

⬄ (x + 2)( x – 8) = 0

⬄ x = -2 hoặc x = 8

Thử lại ta thấy x = -2 (thỏa mãn) ; x = 8 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2; 8}

Bài 2: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương hai vế của phương trình ta được :

2x2 + 15x – 76  = x2 + 4x + 200

⬄ x2 + 11x – 276 = 0

⬄ ( x – 12)( x + 23) = 0

⬄ x = 12 hoặc x = -23

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {12; -23}

Bài 3: Giải phương trình   = 2x - 1

Trả lời:

 +) 2x – 1 ≥ 0 ⬄ x ≥  (1)

+) Bình phương hai vế của phương trình ta được +) Bình phương hai vế của phương trình ta được

    x2 – 6x + 6 = 4x2 – 4x + 1

⬄ 3x2 + 2x – 5 = 0

⬄ ( 3x + 5)(x -1) = 0

⬄ x =   hoặc x = 1 ( 2)

Từ ( 1) và (2) => x = 1

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình :  = |x – 1|

Trả lời:

Bình phương hai vế phương trình ta có :

3x2 – 11x – 23 = x2 – 2x + 1

⬄ 2x2 – 13x – 24 = 0

⬄( x – 8)(2x + 3) = 0

⬄ x = 8 hoặc x =

Thử lại ta thấy x = 8 ; x =  đều thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 8 hoặc x =

Bài 2: Giải phương trình :          x2 +  = 60

Trả lời:

Đặt t =  ( t ≥ 0)

=> t2 – 12 + t = 60

⬄ t2 + t – 72 = 0

⬄ ( t + 9)(t – 8) = 0

⬄ t = -9 (loại) ; t = 8 ( thỏa mãn)

Với t = 8 =>  = 8 ⬄ x2 + 12 = 64 ⬄ x2 = 52 ⬄ x = ±

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy x = ±  là nghiệm của phương trình.

Bài 3: Tính tích các nghiệm của phương trình  = x2 + x - 1

Trả lời:

 = x2 + x - 1

⬄ x2 + x  + 1 -  + 1 -  – 2 = 0

⬄ ()2 -  – 2 = 0

⬄  = -1 ( loại) hoặc  = 2

⬄ x2 + x – 3 = 0

Theo định lý Vi -ét ta có x1.x2 = -3

Vậy tích hai nghiệm của phương trình bằng – 3

Bài 4: Giải phương trình ( – x) = 0

Trả lời:

Điều kiện: x2 – 1 ≥ 0 ; 2x + 1 ≥ 0 ⬄ x ≥ 1

( – x) = 0

⬄  = 0 hoặc  – x = 0

+)  +)  = 0 ⬄ x2 – 1 = 0 ⬄ x = 1 ( thỏa mãn) hoặc x = -1 ( loại)

+)  +)  – x = 0 ⬄ x2 = 2x + 1

 ⬄ x2 – 2x – 1 = 0 ⬄ x = 1 +  ( thỏa mãn) hoặc x = 1 -   ( loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 1 + }

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình  +  +  = 2x – 12 + 2.

Trả lời:

Điều kiện x ≥ 3

Đặt t =  +  +  ( t ≥ 0)

=> t2 = 2x + 2.

Ta có phương trình : t = t2 – 12 ⬄ t = -3 ( loại) hoặc t = 4

t = 4 => 2x + 2. = 16

⬄ = 8 – x

⬄ 8 – x ≥ 0 ; x2 – 9 = 64 – 16x + x2

⬄ x ≤ 8 ; x = 4,5625 ⬄ x = 4,5625

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4,5625}

Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x(x + 5) = 2 - 2 - 2

Trả lời:

Đặt t =  ta được phương trình : t3 + 2 = 2t – 2

⬄ t3 – 2t + 4 = 0 ⬄ t = -2

t = -2 =>  = -2 ⬄ x2 + 5x – 2 = -8 ⬄ x = -2 hoặc x = - 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = - 2 hoặc x = -3

Bài 3: Tìm m để phương trình  =  có nghiệm

Trả lời:

 =

⬄ -x2 + 4x – 3 = 2m + 3x – x2 ; -x2 + 4x – 3 ≥ 0

⬄ x = 2m + 3 ; 1 ≤ x ≤ 3

Phương trình có nghiệm ⬄ 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⬄ -1 ≤ m ≤ 0

Vậy -1 ≤ m ≤ 0

Bài 4 : Giải phương trình: x2 – 3x + 86 - 19 = 0

Trả lời:

x2 – 3x + 16 - 19 + 70 = 0 + 70 = 0

Đặt t =  ( t ≥ 0)

=> t2 – 19t + 70 = 0

⬄ t = 14 hoặc t = 5

t = 14 =>  = 14 => x2 – 3x + 16 = 196 ⬄ x = 15 hoặc x = -12

t = 5 =>  = 5 => x2 – 3x + 16 = 25 ⬄ x =  hoặc x =

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15; -12;  ;  }

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm x; y là số tự nhiên thỏa mãn y =

Trả lời:

y =  => y2 = x +

⬄ 4y2 = 4x + 4

⬄ 4x + 4 + 1 – 4y + 1 – 4y2 = 1

⬄ ( 2 + 1) + 1)2 – ( 2y)2 = 1

⬄ (2 + 1 – 2y)( 2 + 1 – 2y)( 2 + 1 + 2y) = 1 + 1 + 2y) = 1

⬄ 2 + 1 – 2y = 2 + 1 – 2y = 2 + 1 + 2y = 1 hoặc 2 + 1 + 2y = 1 hoặc 2 + 1 – 2y = 2 + 1 – 2y = 2 + 1 + 2y = -1 ( loại) + 1 + 2y = -1 ( loại)

⬄ 4 = 0 ⬄ x = 0 => y = 0

Vậy x = 0; y = 0

Bài 2: Bạn Mai giải phương trình + 1 = 3x theo các bước sau : + 1 = 3x theo các bước sau :

Bước 1 : Bình phương 2 vế của phương trình ta được : x2 + 3x = ( 3x – 1)2

Bước 2 : Khai triển và rút gọn ta được: 8x2 – 9x + 1 = 0 ⬄ x =  hoặc x = 1

Bước 3 : Khi x =  ta có x2 + 3x > 0 . Khi x = 1 ta có x2 + 3x > 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {}

Em hãy xem bạn Mai làm đúng chưa ? Nếu chưa , em hãy sửa lại cho đúng.

Trả lời:

Bạn Mai làm chưa đúng ở bước 3.

x2 + 3x > 0 là điều kiện xác định của phương trình , không phải điều kiện có nghiệm

Thử lại ta thấy x =  ( không thỏa mãn) ; x = 1 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 3: Giải phương trình  = 1 +

Trả lời:

Đặt t =  => t3 = x + 7 => t3 – 7 = x

Ta có phương trình : t = 1 +

⬄  = t – 1

⬄ t – 1 ≥ 0 ; t3 – 7 = t2 – 2t + 1

⬄ t ≥ 1 ; t3 – t2 + 2t – 8 = 0

⬄ t ≥ 1 ; ( t – 2)(t2 + t + 4) = 0

⬄ t = 2

=>  = 2 => x + 7 = 8 ⬄ x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Bài 4 : Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD /km và đường ống dưới nước là 130 000 USD/ km. Điểm B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Tính khoảng cách giữa vị trí A và C.

Trả lời:

Đặt B’C = x ( 0 ≤ x ≤ 9) => BC =

Tổng chi phí làm đường ống là : 50 000. (9 – x) + 130 000.  = 1 170 000

⬄ 5.(9 – x) + 13. = 117

⬄ 13. = 5x + 72

⬄ 5x + 72 ≥ 0 ; 169.(36 + x2 ) = 25x2 + 720x + 5184

⬄ x ≥  ; 144x2 – 720x + 900 = 0

⬄ x =

B’C =  = 2,5 => AC = 9 – 2,5 = 6,5 (km)