Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 3 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Bộ câu hỏi tự luận toán 10 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận chương 3 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 10 cánh diều
BÀI 5 : HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (15 CÂU)
1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)
Bài 1: Giải phương trình
Trả lời:
Bình phương 2 vế của phương trình ta được :
x2 – 4x – 10 = 2x + 6
⬄ x2 – 6x – 16 = 0
⬄ (x + 2)( x – 8) = 0
⬄ x = -2 hoặc x = 8
Thử lại ta thấy x = -2 (thỏa mãn) ; x = 8 ( thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2; 8}
Bài 2: Giải phương trình
Trả lời:
Bình phương hai vế của phương trình ta được :
2x2 + 15x – 76 = x2 + 4x + 200
⬄ x2 + 11x – 276 = 0
⬄ ( x – 12)( x + 23) = 0
⬄ x = 12 hoặc x = -23
Thử lại ta thấy đều thỏa mãn
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {12; -23}
Bài 3: Giải phương trình = 2x - 1
Trả lời:
+) 2x – 1 ≥ 0 ⬄ x ≥ (1)
+) Bình phương hai vế của phương trình ta được +) Bình phương hai vế của phương trình ta được
x2 – 6x + 6 = 4x2 – 4x + 1
⬄ 3x2 + 2x – 5 = 0
⬄ ( 3x + 5)(x -1) = 0
⬄ x = hoặc x = 1 ( 2)
Từ ( 1) và (2) => x = 1
Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)
Bài 1: Giải phương trình : = |x – 1|
Trả lời:
Bình phương hai vế phương trình ta có :
3x2 – 11x – 23 = x2 – 2x + 1
⬄ 2x2 – 13x – 24 = 0
⬄( x – 8)(2x + 3) = 0
⬄ x = 8 hoặc x =
Thử lại ta thấy x = 8 ; x = đều thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 8 hoặc x =
Bài 2: Giải phương trình : x2 + = 60
Trả lời:
Đặt t = ( t ≥ 0)
=> t2 – 12 + t = 60
⬄ t2 + t – 72 = 0
⬄ ( t + 9)(t – 8) = 0
⬄ t = -9 (loại) ; t = 8 ( thỏa mãn)
Với t = 8 => = 8 ⬄ x2 + 12 = 64 ⬄ x2 = 52 ⬄ x = ±
Thử lại ta thấy thỏa mãn
Vậy x = ± là nghiệm của phương trình.
Bài 3: Tính tích các nghiệm của phương trình = x2 + x - 1
Trả lời:
= x2 + x - 1
⬄ x2 + x + 1 - + 1 - – 2 = 0
⬄ ()2 - – 2 = 0
⬄ = -1 ( loại) hoặc = 2
⬄ x2 + x – 3 = 0
Theo định lý Vi -ét ta có x1.x2 = -3
Vậy tích hai nghiệm của phương trình bằng – 3
Bài 4: Giải phương trình ( – x) = 0
Trả lời:
Điều kiện: x2 – 1 ≥ 0 ; 2x + 1 ≥ 0 ⬄ x ≥ 1
( – x) = 0
⬄ = 0 hoặc – x = 0
+) +) = 0 ⬄ x2 – 1 = 0 ⬄ x = 1 ( thỏa mãn) hoặc x = -1 ( loại)
+) +) – x = 0 ⬄ x2 = 2x + 1
⬄ x2 – 2x – 1 = 0 ⬄ x = 1 + ( thỏa mãn) hoặc x = 1 - ( loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 1 + }
3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)
Bài 1: Giải phương trình + + = 2x – 12 + 2.
Trả lời:
Điều kiện x ≥ 3
Đặt t = + + ( t ≥ 0)
=> t2 = 2x + 2.
Ta có phương trình : t = t2 – 12 ⬄ t = -3 ( loại) hoặc t = 4
t = 4 => 2x + 2. = 16
⬄ = 8 – x
⬄ 8 – x ≥ 0 ; x2 – 9 = 64 – 16x + x2
⬄ x ≤ 8 ; x = 4,5625 ⬄ x = 4,5625
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4,5625}
Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x(x + 5) = 2 - 2 - 2
Trả lời:
Đặt t = ta được phương trình : t3 + 2 = 2t – 2
⬄ t3 – 2t + 4 = 0 ⬄ t = -2
t = -2 => = -2 ⬄ x2 + 5x – 2 = -8 ⬄ x = -2 hoặc x = - 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là x = - 2 hoặc x = -3
Bài 3: Tìm m để phương trình = có nghiệm
Trả lời:
=
⬄ -x2 + 4x – 3 = 2m + 3x – x2 ; -x2 + 4x – 3 ≥ 0
⬄ x = 2m + 3 ; 1 ≤ x ≤ 3
Phương trình có nghiệm ⬄ 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⬄ -1 ≤ m ≤ 0
Vậy -1 ≤ m ≤ 0
Bài 4 : Giải phương trình: x2 – 3x + 86 - 19 = 0
Trả lời:
x2 – 3x + 16 - 19 + 70 = 0 + 70 = 0
Đặt t = ( t ≥ 0)
=> t2 – 19t + 70 = 0
⬄ t = 14 hoặc t = 5
t = 14 => = 14 => x2 – 3x + 16 = 196 ⬄ x = 15 hoặc x = -12
t = 5 => = 5 => x2 – 3x + 16 = 25 ⬄ x = hoặc x =
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15; -12; ; }
4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)
Bài 1: Tìm x; y là số tự nhiên thỏa mãn y =
Trả lời:
y = => y2 = x +
⬄ 4y2 = 4x + 4
⬄ 4x + 4 + 1 – 4y + 1 – 4y2 = 1
⬄ ( 2 + 1) + 1)2 – ( 2y)2 = 1
⬄ (2 + 1 – 2y)( 2 + 1 – 2y)( 2 + 1 + 2y) = 1 + 1 + 2y) = 1
⬄ 2 + 1 – 2y = 2 + 1 – 2y = 2 + 1 + 2y = 1 hoặc 2 + 1 + 2y = 1 hoặc 2 + 1 – 2y = 2 + 1 – 2y = 2 + 1 + 2y = -1 ( loại) + 1 + 2y = -1 ( loại)
⬄ 4 = 0 ⬄ x = 0 => y = 0
Vậy x = 0; y = 0
Bài 2: Bạn Mai giải phương trình + 1 = 3x theo các bước sau : + 1 = 3x theo các bước sau :
Bước 1 : Bình phương 2 vế của phương trình ta được : x2 + 3x = ( 3x – 1)2
Bước 2 : Khai triển và rút gọn ta được: 8x2 – 9x + 1 = 0 ⬄ x = hoặc x = 1
Bước 3 : Khi x = ta có x2 + 3x > 0 . Khi x = 1 ta có x2 + 3x > 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {}
Em hãy xem bạn Mai làm đúng chưa ? Nếu chưa , em hãy sửa lại cho đúng.
Trả lời:
Bạn Mai làm chưa đúng ở bước 3.
x2 + 3x > 0 là điều kiện xác định của phương trình , không phải điều kiện có nghiệm
Thử lại ta thấy x = ( không thỏa mãn) ; x = 1 ( thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Bài 3: Giải phương trình = 1 +
Trả lời:
Đặt t = => t3 = x + 7 => t3 – 7 = x
Ta có phương trình : t = 1 +
⬄ = t – 1
⬄ t – 1 ≥ 0 ; t3 – 7 = t2 – 2t + 1
⬄ t ≥ 1 ; t3 – t2 + 2t – 8 = 0
⬄ t ≥ 1 ; ( t – 2)(t2 + t + 4) = 0
⬄ t = 2
=> = 2 => x + 7 = 8 ⬄ x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}
Bài 4 : Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD /km và đường ống dưới nước là 130 000 USD/ km. Điểm B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Tính khoảng cách giữa vị trí A và C.
Trả lời:
Đặt B’C = x ( 0 ≤ x ≤ 9) => BC =
Tổng chi phí làm đường ống là : 50 000. (9 – x) + 130 000. = 1 170 000
⬄ 5.(9 – x) + 13. = 117
⬄ 13. = 5x + 72
⬄ 5x + 72 ≥ 0 ; 169.(36 + x2 ) = 25x2 + 720x + 5184
⬄ x ≥ ; 144x2 – 720x + 900 = 0
⬄ x =
B’C = = 2,5 => AC = 9 – 2,5 = 6,5 (km)