Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 4 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

BÀI 6: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính .

Trả lời:

.  = - .  = - |. ||.cos (; ) = -BA.BC.cos 600 = -.a2

Bài 2: Cho hai vectơ ,  thỏa mãn  = 5; | | = 6;  . = -15 . Xác định góc giữa 2 vectơ ,

Trả lời:

cos (, ) =  =  =  => (, ) = 1200

Bài 3: Cho hình vuông MNPQ cạnh 2a. Tính .

Trả lời:

.  = QM . QP. cos 450 = 2a. 2a = 4a2 

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho 2 vectơ , . Cho biết || = 6; || = 3; (, ) = 450 . Tính (3 +4 +4)(-2 +3 +3)

Trả lời:

(3 +4 +4)(-2 +3 +3) = -62 + 122 +  = (-6). 62 + 12. 32 + 6. 3. = -108 - 9

Bài 2: Cho || = 3; || =  ; | - 3 - 3| = 3. Tính | +  + |

Trả lời:

( - 3 - 3)2 = 2 - 6 + 9. + 9.2 =>  =  = 3

( +  + )2 = 4.2 + 4. +  + 2 = 4. 32 + 4.3 + ()2 = 50 => | +  + | =  = 5

Bài 3: Cho tam giác ABC , trung tuyến AM. Chứng minh rằng  = AM2 - .BC2

Trả lời:

 =  =  =  = AM2 - .BC2

Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng  = .2

Trả lời:

 = .()..()

= . ( +  + )

= . ( +  + )

= . [+  +  +  + + +]

= . ( +  + ) = .  -  -  = .2

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho ΔABC có AB = 2; AC = 3;  = 600. Điểm M thỏa mãn  + 2. + 2. = . Tính độ dài cạnh AM.

Trả lời:

 + 2. + 2. =  ⬄ ( -  - ) +2.() =  =>  = . +  + .

=> 2 = (. +  + .)2 = .2 + .. +  + .2

             = . 22 + . 2. 3.  +  + . 32 =

=> AM =

Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :

 . +  +  .  + + .  =

Trả lời:

 . +  +  .  + + . 

=  . +  +  ) +  . +  +  ) +  . +  +  )

=  . ( .  +  +  .  +  +  .  +  +  .  +  +  . +  +  . )

=  . [( .  +  +  .) + ( .  +  +  . ) + ( .  . )]

=

Bài 3 : Một người dùng một lực  có độ lớn 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực  hợp với hướng dịch chuyển một góc 600. Tính công sinh ra bởi lực

Trả lời:

Đặt OM = s là đoạn đường mà vật di chuyển được

Công sinh ra bởi lực  là:

                     A = .  = |.||.cos (; ) = 90. 100.cos 600 = 2500 J

Bài 4: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho .  =  .

Trả lời:

.  =  .  ⬄ .  -  -  .  = 0

⬄ . ( -  -  ) = 0 ⬄  .  = 0 ⬄ AB ⊥ CM

Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua C vuông góc với AB.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chứng minh với điểm M bất kì ta có :

                     9.MG2 = 3.( MA2 + MB2 + MC2 ) – ( AB2 + BC2 + CA2)

Trả lời:

G là trọng tâm =>  +  +  +  +  = 3.

=> (  +  +  +  +  )2 = 9.2

⬄ MA2 + MB2 + MC2 + 2. (.  +  + .  +  + . ) = 9.MG2

⬄ MA2 + MB2 + MC2 + ( MA2 + MB2 – AB2) + ( MB2 + MC2 – BC2) + ( MA2 + MC2 – AC2)  = 9.MG2

⬄ 3.( MA2 + MB2 + MC2 ) – ( AB2 + BC2 + CA2) = 9.MG2

Bài 2: Cho hai vectơ ,  có độ dài bằng 1 và góc tạo bới 2 vectơ bằng 600 . Xác định cosin góc giữa hai vectơ ,  với  =  +2. +2. ;  =  -  -

Trả lời:

Ta có : .  = ( +2. +2.).( -  - ) = 2 + . - 2 - 22 = a2 +||.||.cos (, ) – 2b2 =

2 = ( +2. +2.)2 = 2 + 4.. + 4 + 42 = 1 + 4.1.1.cos 600 + 4.1 = 7 => || =

2 = ( -  - )2 = 2 - 2.. +  + 2 = 1 - 2.1.1.cos 600 + 1 = 1 => || = 1

cos (, ) =  =  = -

Bài 3: Với 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh : .  +  + .  +  + .  =

Trả lời:

.  +  + .  +  + .

= .  -  - ) +  .(  -  -  +  + . ( -  - )  

= .  -  -  .  +  +  .  -  - .  + +  .  -  -  .   

= ( .  -  -  .  ) + (  .  -  -  . ) + ( .  -  - .  )

=

Bài 4 : Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy M , N, P lần lượt trên 3 cạnh BC,CA, AB sao cho BM = a,CN = 2a, AP = x . Tìm x để AM ⊥ PN

Trả lời:

Chọn hệ vectơ cơ sở  =  ;  =

Ta có :

 =  + +  =  +  +  = + +  -  - ) =   +  +  

 =  - -  =   -  -  

AM ⊥ PN ⬄  . = 0 ⬄ (  +  +  ). (  -  -  ) = 0

⬄ ( + 2. + 2.). (a - -  x) = 0

⬄ a.2 + (2a – x).. – 2x.2 = 0

⬄a.9a2 + (2a – x).a.a.cos 600 – 2x.9a2 = 0

⬄ a2. ( 9a + a -  – 2x) = 0

⬄ 10a - x = 0 ⬄ x = 4a