Bài tập file word Toán 11 Cánh diều chương 4 bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Bộ câu hỏi tự luận toán 11 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài tập file word toán 11 cánh diều chương 4 bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 cánh diều
Xem: => Giáo án toán 11 cánh diều
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
(17 câu)
1. NHẬN BIẾT (5 câu)
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Giải:
Ta có .
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD
Giải:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD
⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)
Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD
⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3
⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Chứng minh MQ // RT
Giải:
Ta có M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD
⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)
Ta có R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD
⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)
Từ (1) và ( 2) suy ra MQ // RT
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Chứng minh IJ // AB // CD // EF
Giải:
Xét tam giác SAB do I; J lần lượt là trung điểm của SA; SB suy ra IJ là đường trung bình
⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)
Xét tam giác SCD do E; F lần lượt là trung điểm của SC và SD suy ra EF là đường trung bình
⇒ EF // CD (2)
Mà ABCD là hình bình hành nên AB// CD (3)
Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF
Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
Giải:
Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB
⇒ MN // AB
Tương tự ta có PQ // AB; MQ // CD và NP // CD
Suy ra MN song song với PQ vì cùng song song với AB
MQ song song với PN vì cùng song song với CD
⇒Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD
2. THÔNG HIỂU (7 câu)
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB
- a) Chứng minh MN / / CD
- b) Tìm giao điểm P của SC với ( AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh SI / / AB / / CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?
Giải:
- a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN / / AB
Mặt khác AB / / CD Þ MN / / CD
- b) Gọi O = AC Ç CD và E = SO Ç ND khi đó SE cắt SC tại P .
Xét 3 mặt phẳng (SAB); (SCD ) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI AB , và CD song song hoặc đồng quy.
Do AB / / CD nên SI / / AB / / CD
Ta có SI / / AB Þ
Khi đó SI / / AB, SI = AB Þ SIBA là hình bình hành
Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
- a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành
- b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Giải:
- a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD nên ta có
Tương tự ta cũng có
Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
- b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có
Suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN .
Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / SB, NP/ / CD, MQ/ / CD
- a) Chứng minh rằng PQ / / SA
- b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh rằng SK / / AD / / BC
Giải:
Ta có
Lại có (Định lý Ta-let)
Từ (1) và (2) suy ra
- b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và ( ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK, AD, BC
Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy.
Mặt khác
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .
- a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và )
- b) Bốn điểm đồng phẳng.
Giải:
- a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác .
Vậy
Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .
Vậy minh đồng qui .
- b) Do nên và xác định một mặt phẳng.
Suy ra đồng phẳng.
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh
- a) Bốn điểm đồng phẳng.
- b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và )
Giải:
- a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và
Ta có
.
Tương tự
Lại có
Từ và suy ra .
Vậy bốn điểm đồng phẳng.
- b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .
Xét ba mặt phẳng và ta có
.
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui.
Câu 6: Cho hình chóp S ABCDđáy là hình thang ( AB là đáy lớn). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB
- a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK ).
- b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK ).
- c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK) .
- d) Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK ). Thiết diện là hình gì?
Giải:
- a) Do AB / / CD Þ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD .
Giả sử (IJK) Ç (SAB) = KP với P Î SA
Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ, AB , và PK nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác AB / / IJ Þ PK / / AB / / IJ
- b) Do PK / / AB mà KS = KB Þ P là trung điểm của SA.
Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD suy ra PI / / SD Þ SD không cắt (IJKP).
- c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA.
- d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IPKJ
Có KP/ / IJ (chứng minh trên) suy ra thiết diện IPKJ là hình thang.
Câu 7: Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm tam giác SAB .
- a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG) .
- b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) . Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành
Giải:
- a) Giả sử (SAB) Ç (IJG) = MN với M Î SB và N Î SA
Ba mặt phẳng (SAB); (IJG) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là các đường thẳng MN AB , và IJ nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác AB / / IJ Þ MN / / AB / / IJ
Do vậy (SAB) Ç (IJG) = MN với MN là đường thẳng qua G và song song với AB
- b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là tứ giác MNIJ .
Ta có MNIJ là hình bình hành khi MN= IJ
Lại có
Do đó
Vậy thì thiết diện là hình bình hành.
3. VẬN DỤNG (3 câu)
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .
- a) Chứng minh song sonng với .
- b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .
Giải:
- a) Ta có .
Vậy
Tương tự
Vậy
Từ và suy ra .
- b) Ta có ;
Do đó .
Mà .
Gọi
Ta có ,
Mà .
Từ suy ra
Tương tự . Vậy .
Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / BS, NP / / CD, MQ / / CD.
- a) Chứng minh PQ / / SA
- b) Gọi K = MN / / PQ. Chứng minh SK / / AD / / BC
- c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx / /SC,Qy/ /SB. Tìm Qx Ç (SAB) và Qy / / (SCD)
Giải:
- a) Ta có
Tương tự ta có
Từ (l) và (2) suy ra .
- b) Hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) có 2 điểm chung là S và K
nên SK = (SBC) Ç (SAD)
Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC), (SAD) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, BC, AD
mà BC / / AD nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK / / AD / / BC
- c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = CQ Ç BA, G = BQ Ç
Trong mặt phẳng (SCQ) dựng Qx / / CS cắt SE tại F thì Qx Ç (SAB) = F
Tương tự trong mặt phẳng (SBG) dựng Qy / / BS cắt SG tại H thì Qy Ç (SCD) = G.
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD, có ABCD là hình vuông. Trên các cạnh BC, AD, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P di động sao cho
- a) Tìm Q = SC Ç (MNP). Suy ra thiết diện của hình chóp với (MNP) . Thiết diện là hình gì?
- b) Tìm tập hợp điểm K = MQ Ç NP, khi M di động trên đoạn BC
- c) Chứng minh SB / / MQ.
Giải:
- a) Ba mặt phẳng (SCD), (ABC ) và (MNP) cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến MN, PQ và CD
Lại có
Trong mặt phẳng (SCD) dựng Px SC / / cắt SC tại Q .
Khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / / PQ nên tứ giác này là hình thang
- b) Gọi K = MQ Ç NP Þ SK = (SBC) Ç (SAD)
Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC), (SAD ) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, BC, AD mà BC / / AD
nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK / / AD / / BC
Vậy K nằm trên đường thẳng qua S và song song với AD
Khi M º B Þ S º K Þ K nằm trên tia St như hình vẽ.
- c) Ta có
Mặt khác
Do đó
4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD. Đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.
- a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD)
- b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng ( ADJ ) và (BCI ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).
Giải:
- a) Do AD / / BC nên giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) là đường thẳng qua J và song song với BC
Tương tự giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD) là đường thẳng qua I và song song với AD
- b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. JF, JE cắt nhau tại G
Qua J kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, K
Do AD / / BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) là đường thẳng qua G và song song với BC.
Qua G kẻ đường thẳng song song với HK cắt AH, DK tại L, M
Giao tuyến (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đoạn thẳng LM
Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng I, G, F và tam giác SJE ta có
Gọi N = JM Ç AD
Do đó
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2 KD.
- a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Thiết diện là hình gì?
- b) Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
- a) Do IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ / / AB và
Do IJ / / AB nên giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng ( ABD) song song với AB.
Qua K dựng KN / / AB với N Î AD thì thiết diện là tứ giác IJKN có IJ / / KN
Þ IJKN là hình thang.
- b) Ta có
Lại có
Tương tự
Chiều cao của hình thang cân IJKN là
Diện tích thiết diện là
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
(17 câu)
1. NHẬN BIẾT (5 câu)
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và
Giải:
Ta có .
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD
Giải:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD
⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)
Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD
⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3
⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Chứng minh MQ // RT
Giải:
Ta có M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD
⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)
Ta có R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD
⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)
Từ (1) và ( 2) suy ra MQ // RT
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Chứng minh IJ // AB // CD // EF
Giải:
Xét tam giác SAB do I; J lần lượt là trung điểm của SA; SB suy ra IJ là đường trung bình
⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)
Xét tam giác SCD do E; F lần lượt là trung điểm của SC và SD suy ra EF là đường trung bình
⇒ EF // CD (2)
Mà ABCD là hình bình hành nên AB// CD (3)
Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF
Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
Giải:
Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB
⇒ MN // AB
Tương tự ta có PQ // AB; MQ // CD và NP // CD
Suy ra MN song song với PQ vì cùng song song với AB
MQ song song với PN vì cùng song song với CD
⇒Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD
2. THÔNG HIỂU (7 câu)
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB
- a) Chứng minh MN / / CD
- b) Tìm giao điểm P của SC với ( AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh SI / / AB / / CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?
Giải:
- a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN / / AB
Mặt khác AB / / CD Þ MN / / CD
- b) Gọi O = AC Ç CD và E = SO Ç ND khi đó SE cắt SC tại P .
Xét 3 mặt phẳng (SAB); (SCD ) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI AB , và CD song song hoặc đồng quy.
Do AB / / CD nên SI / / AB / / CD
Ta có SI / / AB Þ
Khi đó SI / / AB, SI = AB Þ SIBA là hình bình hành
Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
- a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành
- b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Giải:
- a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD nên ta có
Tương tự ta cũng có
Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
- b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có
Suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN .
Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / SB, NP/ / CD, MQ/ / CD
- a) Chứng minh rằng PQ / / SA
- b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh rằng SK / / AD / / BC
Giải:
Ta có
Lại có (Định lý Ta-let)
Từ (1) và (2) suy ra
- b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và ( ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK, AD, BC
Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy.
Mặt khác
Câu 4: Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .
- a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và )
- b) Bốn điểm đồng phẳng.
Giải:
- a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác .
Vậy
Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .
Vậy minh đồng qui .
- b) Do nên và xác định một mặt phẳng.
Suy ra đồng phẳng.
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh
- a) Bốn điểm đồng phẳng.
- b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và )
Giải:
- a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và
Ta có
.
Tương tự
Lại có
Từ và suy ra .
Vậy bốn điểm đồng phẳng.
- b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .
Xét ba mặt phẳng và ta có
.
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui.
Câu 6: Cho hình chóp S ABCDđáy là hình thang ( AB là đáy lớn). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB
- a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK ).
- b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK ).
- c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK) .
- d) Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK ). Thiết diện là hình gì?
Giải:
- a) Do AB / / CD Þ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD .
Giả sử (IJK) Ç (SAB) = KP với P Î SA
Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ, AB , và PK nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác AB / / IJ Þ PK / / AB / / IJ
- b) Do PK / / AB mà KS = KB Þ P là trung điểm của SA.
Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD suy ra PI / / SD Þ SD không cắt (IJKP).
- c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA.
- d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IPKJ
Có KP/ / IJ (chứng minh trên) suy ra thiết diện IPKJ là hình thang.
Câu 7: Cho hình chóp S ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm tam giác SAB .
- a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG) .
- b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) . Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành
Giải:
- a) Giả sử (SAB) Ç (IJG) = MN với M Î SB và N Î SA
Ba mặt phẳng (SAB); (IJG) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là các đường thẳng MN AB , và IJ nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác AB / / IJ Þ MN / / AB / / IJ
Do vậy (SAB) Ç (IJG) = MN với MN là đường thẳng qua G và song song với AB
- b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là tứ giác MNIJ .
Ta có MNIJ là hình bình hành khi MN= IJ
Lại có
Do đó
Vậy thì thiết diện là hình bình hành.
3. VẬN DỤNG (3 câu)
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .
- a) Chứng minh song sonng với .
- b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .
Giải:
- a) Ta có .
Vậy
Tương tự
Vậy
Từ và suy ra .
- b) Ta có ;
Do đó .
Mà .
Gọi
Ta có ,
Mà .
Từ suy ra
Tương tự . Vậy .
Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / BS, NP / / CD, MQ / / CD.
- a) Chứng minh PQ / / SA
- b) Gọi K = MN / / PQ. Chứng minh SK / / AD / / BC
- c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx / /SC,Qy/ /SB. Tìm Qx Ç (SAB) và Qy / / (SCD)
Giải:
- a) Ta có
Tương tự ta có
Từ (l) và (2) suy ra .
- b) Hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) có 2 điểm chung là S và K
nên SK = (SBC) Ç (SAD)
Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC), (SAD) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, BC, AD
mà BC / / AD nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK / / AD / / BC
- c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = CQ Ç BA, G = BQ Ç
Trong mặt phẳng (SCQ) dựng Qx / / CS cắt SE tại F thì Qx Ç (SAB) = F
Tương tự trong mặt phẳng (SBG) dựng Qy / / BS cắt SG tại H thì Qy Ç (SCD) = G.
Câu 3: Cho hình chóp S ABCD, có ABCD là hình vuông. Trên các cạnh BC, AD, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P di động sao cho
- a) Tìm Q = SC Ç (MNP). Suy ra thiết diện của hình chóp với (MNP) . Thiết diện là hình gì?
- b) Tìm tập hợp điểm K = MQ Ç NP, khi M di động trên đoạn BC
- c) Chứng minh SB / / MQ.
Giải:
- a) Ba mặt phẳng (SCD), (ABC ) và (MNP) cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến MN, PQ và CD
Lại có
Trong mặt phẳng (SCD) dựng Px SC / / cắt SC tại Q .
Khi đó thiết diện là tứ giác MNPQ có MN / / PQ nên tứ giác này là hình thang
- b) Gọi K = MQ Ç NP Þ SK = (SBC) Ç (SAD)
Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC), (SAD ) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, BC, AD mà BC / / AD
nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK / / AD / / BC
Vậy K nằm trên đường thẳng qua S và song song với AD
Khi M º B Þ S º K Þ K nằm trên tia St như hình vẽ.
- c) Ta có
Mặt khác
Do đó
4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)
Câu 1: Cho hình chóp S ABCD. Đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.
- a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD)
- b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng ( ADJ ) và (BCI ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).
Giải:
- a) Do AD / / BC nên giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) là đường thẳng qua J và song song với BC
Tương tự giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD) là đường thẳng qua I và song song với AD
- b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. JF, JE cắt nhau tại G
Qua J kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, K
Do AD / / BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) là đường thẳng qua G và song song với BC.
Qua G kẻ đường thẳng song song với HK cắt AH, DK tại L, M
Giao tuyến (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đoạn thẳng LM
Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng I, G, F và tam giác SJE ta có
Gọi N = JM Ç AD
Do đó
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2 KD.
- a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Thiết diện là hình gì?
- b) Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
- a) Do IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ / / AB và
Do IJ / / AB nên giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng ( ABD) song song với AB.
Qua K dựng KN / / AB với N Î AD thì thiết diện là tứ giác IJKN có IJ / / KN
Þ IJKN là hình thang.
- b) Ta có
Lại có
Tương tự
Chiều cao của hình thang cân IJKN là
Diện tích thiết diện là
=> Giáo án dạy thêm toán 11 cánh diều bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian