BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Giải phương trình

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Giải:

1. a) Vì nên

Vậy phương trình có các nghiệm là

1. b) Phương trình có các nghiệm là
2. c) Ta có , nên

Vậy phương trình có các nghiệm là

1. d) Ta có

Phương trình có nghiệm là

Câu 2: Giải các phương trình
a) ;
b)

Giải:

1. a) Vì nên
2. b)

Câu 3: Giải các phương trình
a)
b) ;

Giải:

1. a)
2. b)

Câu 4: Giải phương trình

1. a) ;
   b)

Giải

1. a)
2. b) Điều kiện : và . Khi đó ta có

Các giá trị này thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

Câu 5: Giải phương trình

1. a)
   b) .

Giải:

1. a) Vì nên
2. b) Ta có

Phương trình  có các nghiệm là

còn phương trình  vô nghiệm.

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Giải các phương trình
a) ;
b) ;

Giải:

1. a) Điều kiện của phương trình

là .

Ta biến đổi phương trình đã cho

Các giá trị này thoả mãn điều kiện của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là

1. b) Điều kiện của phương trình

là .

Ta biến đổi phương trình đã cho

Khi thay vào điều kiện , ta thấy giá trị  không thoả mãn, còn giá trị  thoả mãn. Vậy nghiẹ̀m của phương trình đã cho là

Câu 2: Giải phương trình

Giải:

Điều kiện:

Phương trình

Biểu diễn nghiệm  trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm . Do đó phương trình có nghiệm

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số  để phương trình  có nghiệm.

Giải:

Để phương trình có nghiệm

Câu 4:

1. a) Giải phương trình
2. b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

Giải:

Phương trình

1. b) Phương trình

.

Đặt

Phương trình trở thành

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

Câu 5: Trên khoảng , phương trình   có bao nhiêu nghiệm?

Giải:

Ta có

Vì , suy ra

Vậy trên khoảng  phương trình có 3 nghiệm.

Câu 6: Cho . Tính .

Giải:

Phương trình

Suy ra

Do đó

Câu 7: Giải phương trình

Giải:

Ta có .

= Với

= Với

(Có thể kết hợp nghiệm

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Giải phương trình

Giải:

Ta có  và .

Do đó phương trình

Câu 2: Tìm các giá trị của tham số  để phương trình có nghiệm.

Giải:

Phương trình có nghiệm

Câu 3: Tìm tất các giá trị thực của tham số  để phương trình có nghiệm trên khoảng

Giải:

Phương trình

Phương trình  không có nghiệm trên khoảng  (Hình vẽ).

Do đó yêu cầu bài toán  có nghiệm thuộc khoảng .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm giá trị của m để phương trình  có đúng  nghiệm phân biệt thuộc khoảng .

Giải:

Đặt .

Phương trình trở thành       

Yêu cầu bài toán tương đương với:

= TH1: Phương trình  có một nghiệm  (có một nghiệm ) và một nghiệm  (có bốn nghiệm ) (Hình 1).

     a Do .

     a Thay  vào phương trình , ta được

= TH2: Phương trình  có một nghiệm  (có hai nghiệm ) và một nghiệm  (có ba nghiệm ) (Hình 2).

     a Do .

     a Thay  vào phương trình , ta được

Vậy  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Cho phương trình . Trên đoạn  có bao nhiêu nghiệm của phương trình?

Giải:

Đặt . Vì .

Ta có

Phương trình đã cho trở thành

Với , ta được .

Theo giả thiết

Vậy có  nghiệm của phương trình trên đoạn .