BÀI 1: DÃY SỐ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1:

1. a) Cho dãy số xác định bởi . Xác định năm số hạng đầu của dãy số .
2. b) Cho dãy số xác định bởi và . Viết năm số hàng đầu của dãy số.
3. c) Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho bởi công thức sau :

Giải:

1. a) .
2. b) .
3. c) Năm số hạng đầu là: -3; -6; -9; -12; -15.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: .

Câu 2: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a)
2. b)

Câu 3: Dự đoán số hạng tổng quát của các dãy số

1. a)

b)

1. c)

Giải:

Vì:

Câu 4:

1. a) Cho dãy số có . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số  .
2. b) Cho dãy số có . Số (-10) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số ?

Giải:

12. a) Giải phương trình ta được Vậy số hạng thứ 12.
13. b) Giải phương trình . Vậy số hạng thứ 7.

Câu 5: Cho dãy số  xác định bởi  và . Tìm tổng  của 4 số hạng đầu tiên của dãy số.

Giải:

Tính được

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với .
3. c) Dãy , với .

Giải:

1. a) Dãy số là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
2. b) Ta có (do Vì nên là một dãy số tăng.
3. c) Ta có . Vậy là một dãy số giảm.

Câu 2: Xét tính tăng giảm của dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với .
3. c) Dãy , với

Giải:

1. a) Dãy số là một dãy số giảm vì \

1. b) Dãy số là một dãy số giảm vì
2. c) Các số hạng của dãy đều là số dương.

Xét .

. Vậy  là dãy số tăng.

Câu 3:

1. a) Xét tính bị chặn của dãy số , với .
2. b) Xét tính bị chặn của dãy số , với .

Giải:

1. a) Ta có nên là một dãy số tăng.

Suy ra nó bị chặn dưới bởi .

Lại do nên dãy số  bị chặn trên bởi 1.

Vậy dãy  bị chặn.

1. b) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì

Câu 4:

1. a) Cho dãy số với . Tìm a để dãy số là dãy tăng.
2. b) Cho dãy số với . Tìm giá trị của a để là dãy số giảm.

Giải:

1. a) Ta có Xét hiệu

là dãy tăng khi và chỉ khi

1. b) Ta có Xét hiệu

là dãy giảm khi và chỉ khi

Câu 5: Cho dãy số , xác định bởi: . Chứng minh

Giải:

Ta có

Vậy

Câu 6: Xét tính bị chặn của dãy số

1. a) Dãy , với
2. b) Dãy , với .
3. c) Dãy , với .

Giải:

1. a) Dãy số là dãy số tăng vì

Dãy chỉ bị chặn dưới bởi

1. b) Dãy số có nên dãy số là dãy số bị chặn.
2. c) Dãy số là dãy số tăng vì mà .

Dãy chỉ bị chặn dưới bởi

Câu 7: Khảo sát tính tăng giảm của dãy số.

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Xét hiệu

 
Vậy (u_n) là dãy tăng.

1. b) Xét hiệu

Do

Vậy (u_n) là dãy giảm.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho dãy số  xác định bởi  và . Số  là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

Giải:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số  ta có:

.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số  là .

Giải phương trình  ta được

Câu 2: Cho dãy số xác định bởi  và Tổng

Giải:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có  Suy ra

Do đó

Vậy

Câu 3: Cho dãy số xác định bởi Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số . Tính giá trị biểu thức

Giải:

Dựa vào chu kì của hàm số  ta có

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là

Suy ra Do đó

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

Giải:

Đặt  khi đó .

Từ hệ thức truy hồi  suy ra .

Như vậy ta có .

Ta có  ; .

Nhận thấy , suy ra .

(Có thể chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp).

Vậy số hạng tổng quát

Câu 2: Cho dãy số thỏa mãn Tìm  có giá trị nguyên dương lớn nhất để  

Giải:

Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

Suy ra

Do đó  

Vậy  Vì nên

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là .