Bài tập file word Toán 11 Cánh diều chương 3 bài 3: Hàm số liên tục

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra   (tại )      

Giải:

Ta có:

 hàm số liên tục tại

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra (tại )

Giải:

Ta có : .

Vậy hàm số liên tục tại .

Câu 3: Xét tính liên tục của hàm số tại

Giải:

Ta có:

Mà

Vậy hàm số liên tục tại

Câu 4: Xét tính liên tục của hàm số tại

Giải:

Ta có: .

Lại có

Và

Từ đó  hàm số liên tục tại .  

Câu 5: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra (tại )

Giải:

Ta có: .

Lại có  nên không tồn tại giới hạn hàm số tại

Vậy hàm số không liên tục tại .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định

Giải:

Do đó, hàm số này liên tục tại

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định

Giải:

Mà  khi nên

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi

Câu 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau        

Giải:

Hàm số  liên tục với                                             

 liên tục tại              

Từ và  ta có  liên tục trên .

Câu 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau

Giải:

Hàm số  liên tục với                                            

 liên tục tại                   

Từ và  ta có  liên tục trên .

Câu 5: Tìm các giá trị của  để hàm số sau liên tục

Giải:

Hàm số  liên tục với .

Do đó liên tục trên  liên tục tại    

Ta có

Khi đó .

Câu 6: Tìm các giá trị của  để hàm số sau liên tục

Giải:

Ta có:

Từ

Câu 7: Cho hàm số . Xét sự liên tục của hàm số.

Giải

Hàm số xác định và liên tục trên (−∞;1) và (1;+∞)

Xét tính liên tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2

Ta thấy nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục trên R.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

Giải:

Dễ thấy hàm  liên tục trên . Ta có:

tồn tại một số

 tồn tại một số

 tồn tại một số

Do ba khoảng  và  đôi một không giao nhau nên phương trình  có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Giải:

Đặt .

Xét hàm số  liên tục trên .

Ta có:  

Suy ra tồn tại 3 số và  lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là  và  sao cho  

Do đây là phương trình bậc 3 nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị và  ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn  và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm 

Giải:

Xét

 tồn tại một số  sao cho

 tồn tại một số  sao cho

Từ đó  luôn tồn tại một số  nên phương trình  luôn có nghiệm.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Giải:

Xét . Phương trình có dạng  nên PT có nghiệm

Với  giả sử

 liên tục trên R nên  liên tục trên

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Câu 2: Chứng minh rằng phương trình  luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Giải:

Đặt  liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số