BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp , đáy  là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm  thuộc cạnh . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

1. a) và
2. b) và

Giải:

1. a) Trong gọi

Và

1. b) Trong gọi , ta có .

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

Giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm AB và CD.

Trong mặt phẳng (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.
Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) (Do E ∈ CD ⊂ (MCD))

⇒ N ∈ (MCD)

Mà N ∈ SB

Nên N = SB ∩ (MCD)

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng

1. a) (SAC) và (SBD); b) (SAC) và (MBD).

Giải:

1. a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra   

Lại có 

Do đó

1. b) 

Lại có 

Do đó 

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên AO. Gọi I, J là hai điểm trên BC, BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD).

Giải:

Do K là giao điểm của IJ và CD nên K ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (1)

Ta có F là giao điểm của ME và AH

Mà AH ⊂ (ACD) , ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MIJ) ∩ (ACD) = KF

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác ,  là một điểm trên cạnh ,  là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng  với mặt phẳng .

Giải:

Trong mặt phẳng  gọi .

Trong  gọi  và .

Ta có

.

Do đó .

Vậy

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tứ diện . Trên  và  lấy các điểm  và  sao cho  cắt  tại ,  cắt  tại ,  cắt  tại . Chứng minh ba điểm  thẳng hàng.

Giải:

Ta có

.

Tương tự

Từ (1),(2) và (3) ta có  là điểm chung của hai mặt phẳng  và  nên chúng thẳng hàng.

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác , gọi  là giao điểm của hai đường chéo  và . Một mặt phẳng  cắt các cạnh bên  tưng ứng tại các điểm . Chứng minh các đường thẳng  đồng qui.

Giải:

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta sẽ chứng minh  .

Dễ  thấy .

Vậy  đồng qui tại .

Câu 3: Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng . Trong  lấy hai điểm  nhưng không thuộc  và  là một điểm không thuộc Các đường thẳng  cắt  tương ứng tại các điểm . Gọi  là giao điểm của  và .Chứng minh  và  đồng qui.

Giải:

Trước tiên ta có  vì ngược lại thì

(mâu thuẫn giả thiết) do đó  không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng .

Do  

Tương tự

Từ (1) và (2) suy ra .

Mà

.

Vậy   và  đồng qui đồng qui tại .

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác  với đáy  có các cạnh đối diện không song song với nhau và  là một điểm trên cạnh .

1. a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
2. b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .

Giải:

1. a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong  gọi .

Ta có  và  nên .

1. b) Trong gọi .

Trong  gọi .

Ta có  và  nên .

Câu 5: Cho tứ diện ,  là điểm huộc miền trong tam giác ,  là một điểm trên cạnh .

1. a) Dựng đường thẳng đi qua cắt cả và .
2. b) Gọi là mộtđiểm trên cạnh sao cho  không song song với . Dựng đường thẳng đi qua  cắt  và .

Giải:

1. a) Trong gọi

Trong  gọi

Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

1. b) Trong mặt phẳng gọi

Trong gọi , trong  gọi , thì  chính là đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thang với  là đáy lớn và  là một điểm trên cạnh .

1. a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
2. b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Giải:

1. a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta có  nên , do đó .

Thiết diện là tứ giác .

1. b) Trong mặt phẳng gọi lần lượt là các giao điểm của  với  và

Trong mặt phẳng  gọi

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta có ,

Vậy Tương tự .

Thiết diện là ngũ giác .

Câu 7: Cho hình chóp  có đáy  là một hình bình hành tâm . Gọi  là ba điểm trên các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

Giải

Trong mặt phẳng  gọi  lần lượt là giao điểm của  với .

Trong mặt phẳng  gọi

Trong mặt phẳng  gọi  

Trong mặt phẳng  gọi  .

Ta có , .

Lí luận tương tự ta có

Thiết diện là ngũ giác .

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Giải:

Gọi I = d1 ∩ d2 và  (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2).

Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N. Ta có

+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)

+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).

Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d3 ⊂ (P)

⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N  ⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy ba đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.

Câu 2: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác sau BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy.

Giải:

Gọi N là trung điểm CD.

+ GA là trọng tâm ΔBCD

⇒ GA ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB) ⇒ AGA ⊂ (ANB)

GB là trọng tâm ΔACD

⇒ GB ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB) ⇒ BGB ⊂ (ANB).

Trong mp(ANB): AGA không song song với BGB

⇒ AGA cắt BGB tại O

+ Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC; CGC cắt AGA.

+ CGC không nằm trong (ANB) ⇒ AGA; BGB; CGC không đồng phẳng (áp dụng kết quả của bài 1).

⇒ AGA; BGB; CGC đồng quy tại O

+ Chứng minh tương tự cho: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O.

Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy tại O.

Câu 3: Tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

1. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mp (MAB).
2. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

Giải:

1. a) Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

Ta có E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

1. b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy

+ Trong mặt phẳng (SAC)  SO và AM cắt nhau.

+ Trong mp(MAB) MA và BN cắt nhau

+ Trong mp(SBD) SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tứ diện . Hai điểm  lần lượt nằm trên hai cạnh  và  sao cho . Một mặt phẳng  thay đổi luôn chứa , cắt các cạnh  và  lần lượt tại  và .

1. a) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.
2. b) Tìm tập hợp giao điểm của và .
3. c) Tìm tập hợp giao điểm của và .

Giải:

1. a) Trong gọi thì  cố định và  

Lại có Vậy  luôn đi qua điểm  cố định

1. 
   b) Phần thuận:

Trong  gọi

.

Gọi

Giới hạn:

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến

Khi Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến

Phần đảo:

Gọi  là điểm bất kì trên đoạn , trong  gọi , trong  gọi  suy ra  là mặt phẳng quay quanh  căt các cạnh tại các điểm  và .

Vậy tập hợp điểm  là đoạn .

1. c) Gọi .

Mà .

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến

Khi Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến

Từ đó ta có tập hợp điểm  là đường thẳng  trừ các điểm trong của đoạn .

Câu 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng quay quanh  cắt  các cạnh  tại các điểm tương ứng .

1. a) Tìm tập hợp giao điểm của  và .
2. b) Tìm tập hợp giao điểm của  và .

Giải:

1. a) Phần thuận:

Ta có , .

Trong  gọi   .

.

Giới hạn:

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Phần đảo:

Lấy điểm  bất kì thuộc đoạn , trong gọi , trong  gọi  khi đó  là mặt phẳng quay quanh  cắt các cạnh  tại  và  là giao điểm của  và .

Vậy tập hợp điểm  là đoạn .

1. b) Ta có Nhưng nên .

Khi  chạy đến chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm  là đoạn .