BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tính giới hạn của các hàm số

1. a) khi   
2. b) khi

Giải:

1. a) Tập xác định của hàm số là . Chọn dãy số với sao cho .

Theo định nghĩa

Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có

.

 Vậy

1. b) Tập xác định của hàm số là nên chọn dãy số sao cho

Ta có  

.

Vậy

Câu 2: Chứng minh các dãy số  sau đây có giới hạn là 0.  

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Giải:

1. a) Với mỗi số dương tùy ý, cho trước, ta có . Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên ta đều có . Vậy .
2. b) Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .
3. c) Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .
4. Ta có . Vì . Từ đó suy ra .

Câu 3: Tính giới hạn của các hàm số

1. a) khi
2. b) khi

Giải:

1. a) Theo định lí 1, ta có

.

Vậy

1. b) Vì khi nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1.

Nhưng với , ta có  suy ra .

Vậy

Câu 4: Chứng minh

1. a)
2. b)
3. c) .

Giải:

1. a) Gọi . ta có .

Vì  nên  suy ra .

1. b) Gọi . ta có .

 Vì  nên . Do đó .

1. c) Gọi . ta có    . Vì  nên . Do đó

Câu 5: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra   (tại )      

Giải:

Ta có:

 hàm số liên tục tại

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Tìm các giới hạn sau

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

a)

b)

1. c)

Câu 2: Tìm giới hạn của dãy  biết

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

1. a) Ta thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho  được

. Ta có   và  nên .

1. b) Dễ dàng thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho  được

. Ta có  ,  và . Do đó .

1. c) Có , , và . Từ đó .. . Vì , ,  và  . Nên .

Câu 3: Tìm các giới hạn sau

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

a)

b)

c)

Câu 4: Tìm giới hạn của dãy  biết

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

1. a) . Vì có và . Nên .
2. b) . Vì có  và .

Từ đó có .

1. c) Ta có . Vì có     và . Từ đó suy ra .

Câu 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau        

Giải:

Hàm số  liên tục với                                             

 liên tục tại              

Từ và  ta có  liên tục trên .

Câu 6: Tìm giới hạn các hàm số sau

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

a)

b)

1. c) Câu 7: Tìm giới hạn của dãy biết
2. a)
3. b)
4. c)

Giải:

1. a) Ta có . Ta có và . Nên .
2. b) Ta có . Ta có và . Do đó .
3. c) Ta có

. Ta có  và .

Do đó .

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm giới hạn của dãy  biết

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

1. a) Ta có . Và có và .

 Do đó  , vì   và . Nên .

1. b) . Ta có và . Từ đó suy ra , vì   và . Nên .
2. c) . Ta có . Do đó , ta có . Nên

Câu 2: Tính các giới hạn sau

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

a)

b)

c)

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

Giải:

Dễ thấy hàm  liên tục trên . Ta có:

tồn tại một số

 tồn tại một số

 tồn tại một số

Do ba khoảng  và  đôi một không giao nhau nên phương trình  có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên  có đúng 3 nghiệm phân biệt.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm các giới hạn của các hàm số tại các điểm chỉ ra

1. a) tại
2. b) tại

Giải:

a)

. Do đó, không tồn tại

b)

Nhận thấy . Do đó

Câu 2: Tìm các giới hạn sau

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

1. Ta có

  và

.

Do đó .

1. b)

Ta có

 và    .

Do đó .

1. c) .

 Tính  

Và  .

Do đó .