BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng

                             .

Giải:

Vì       

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số  là một cấp số cộng với công sai .

Câu 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau

1. a) Dãy số , với ;
2. b) Dãy số , với ;
3. c) Dãy số , với ;

Giải:

1. a) Ta có nên

Do đó  là cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

1. b) Ta có nên

Suy ra  là cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

1. c) Ta có:

Do đó  là cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai .

Câu 3:

1. a) Cho cấp số cộng có 7 số hạng với số hạng đầu và công sai

Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.

1. b) Cho cấp số cộng có và . Tìm số hạng .

Giải:

1. a) Ta có

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng  là  

1. b) Ta có công sai của cấp số cộng là .

Suy ra .

Câu 4: Cho cấp số cộng có  và .

1. a) Tìm .
2. b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Giải:

1. a) Ta có
2. b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

Vì  nên

Do  là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.

Câu 5:

1. a) Cho cấp số cộng có và . Tìm .
2. b) Cho cấp số cộng . Tính giá trị của biểu thức .

Giải:

1. a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có nên .
2. b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có và .

Vì  nên

Vậy .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho cấp số cộng có  và .

1. a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
2. b) Biết , tìm .

Giải:

Ta có

1. a) Ta có .
2. b) Vì nên .

Câu 2:

1. a) Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai  của cấp số cộng.
2. b) Cho dãy số xác định bởi và  với mọi . Tính tổng  của  số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Giải:

1. a) Ta có .

Ta có hệ phương trình .

1. b) Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

.

Câu 3:

1. a) Cho cấp số cộng có . Tính .
2. b) Cho cấp số cộng có . Tìm số hạng đầu và công sai  của cấp số cộng đó.

Giải:

1. a) Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

Suy ra .

1. b) Ta có và . Suy ra

Vậy .

Câu 4:

1. a) Cho cấp số cộng có . Tính giá trị của biểu thức .
   b) Cho cấp số cộng với . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
2. c) Cho cấp số cộng có và tổng của  số hạng đầu tiên là . Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy số.

Giải:

1. a) Ta có .

Suy ra . Do đó

1. b) Ta có hoặc .

+ Giải , ta được .

+ Giải , ta được .

1. c) Ta có .

.

Do đó ta có hệ phương trình .

Ta có

Câu 5: Cho cấp số cộng  thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .

Giải:

Cấp số cộng  có số hạng đầu  và công sai  nên số hạng tổng quát là

Giả sử . Khi đó

Theo giả thiết, ta có .

Câu 6: Biết rằng tồn tại các giá trị của  để ba số  lập thành một cấp số cộng, tính tổng  các giá trị đó của .

Giải:

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

+) .

+)

Với nghiệm  và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm  và  ta tìm được nghiệm

Do đó .

Câu 7:

1. a) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba số  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.         
2. b) Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba số  lập thành một cấp số cộng.

Giải:

1. a) Theo giả thiết, ta có: .

Suy ra  hoặc  lập thành một cấp số cộng.

1. b) Theo giả thiết ta có:

Suy ra ba số  hoặc  lập thành một cấp số cộng.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số  để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

Giải:

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có . Vì  lập thành cấp số cộng nên . Suy ra . Thay  vào phương trình đã cho, ta được

- Điều kiện đủ:

+ Với  thì ta có phương trình  (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó  không phải giá trị cần tìm.

+ Với , ta có phương trình  

Ba nghiệm  lập thành một cấp số cộng nên  là giá trị cần tìm.

Câu 2: Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là  đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm  đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu  mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi  là giá của mét khoan thứ , trong đó  

Theo giả thiết, ta có  và  với .

Ta có  là cấp số cộng có số hạng đầu  và công sai .

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

 (đồng).

Câu 3: Người ta trồng  cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

Giải:

Giả sử trồng được  hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là Theo giả thiết ta có .

Trồng được 77 hàng cây theo cách đó.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là  triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm  đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

Giải:

Kí hiệu  là mức lương của quý thứ  làm việc cho công ty. Khi đó  và .

Dãy số  lập thành cấp số cộng có số hạng đầu  và công sai .

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là  (triệu đồng).

Câu 2: Tìm giá trị của tham số  để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

Giải:

Đặt . Khi đó ta có phương trình: .

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  có 2 nghiệm dương phân biệt  

(do tổng hai nghiệm bằng  nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì có hai nghiệm dương phân biệt là .

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi  

Theo định lý Vi-ét ta có: .

Suy ra ta có hệ phương trình .

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.