BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a)
b)
c) ;
d)

Giải:

1. a) Đặt , ta được hàm số có tập xác định là . Mặt khác, nên tập xác định của hàm só  là .
2. b) Ta có . Vậy tập xác định của hàm só́ là
3. c) Ta có . Vậy tập xác định của hàm số là .
4. d) Ta có

Vạy tập xác định của hàm số  là .

Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Do tập xác định nên .

Ta có . Vậy hàm số  là hàm số chẵn.

1. b) Tập xác định .

Ta có

. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Câu 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng cho trước

1. a) trên đoạn
2. b) trên đoạn
3. c) trên khoảng

Giải:

1. a) Theo lí thuyết: Hàm số

Đồng biến trên các khoảng

Nghịch biến trên các khoảng

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng  

1. b) Theo lí thuyết: Hàm số

Đồng biến trên các khoảng

Nghịch biến trên các khoảng

Suy ra  đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

1. c) Theo lí thuyết: hàm số đồng biến trên các khoảng

Suy ra với hàm số  đồng biến trên khoảng  và      

Câu 4: Vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn

Giải:

Câu 5: Xác định chu kì tuần hoàn của các hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Hàm số tuần hoàn với chu kì
2. b) Hàm số tuần hoàn với chu kì

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số
a)
b)
c) ;
d)

1. e)
2. f)

Giải:

1. a) Kí hiệu . Hàm số có tập xác định .

Ta có với  thì  và

Vậy  là hàm số lẻ.

1. b) Biểu thức xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định của hàm sớ  là .

Với  thì  và .

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. c) Tập xác, định , do đó với thì . Ta có

Vậy  là hàm số chẵn.

1. d) Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi

Vậy tập xác định của hàm só là

Với  thì  và , do đó hàm só  là hàm số lẻ.

1. e) Xét hàm số

TXĐ: . Do đó

Ta có  là hàm số chẵn.

1. f) TXĐ: . Do đó

Ta có  là hàm số chẵn.

Câu 2:

1. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên . Từ đó vẽ đồ thị hàm số ;
2. b) Dựa vào đồ thị hàm số , hãy vẽ đồ thị hàm só .

Giải:

1. a) Ta có với mọi , do đó hàm số tuần hoàn với chu kì . Vì vậy ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm só  trên một đoạn có độ dài , rồi tịnh tiến song song với trục  các đoạn có độ dài  ta sẽ được đồ thị hàm số .

Hơn nữa, vì  là hàm số chẵn, nên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm só đó trên đoạn  rồi lấy đối xứng qua trục tung, sẽ được đồ thị hàm số trên đoạn .

1. b) Ta có

Vì vậy, từ đồ thị hàm số  ta giữ nguyên những phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành những phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, ta được đồ thị hàm số  .

Câu 3: Cho đồ thị hàm số  như hình

1. a) Với mỗi , có bao nhiêu giá trị sao cho .
2. b) Có bao nhiêu giá trị để

Giải:

1. a)

Nếu m = 1 thì có một giá trị của  để  là .

Nếu m = -1 thì có một giá trị của  để  là .

1. b) ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại tại hai điểm trong đoạn

nên có hai giá trị của  để .

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Giải:

1. a) nên .

Vậy giá trị lớn nhất của  là 3 đạt được khi

Giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi .

1. b)

Vậy giá trị lớn nhất của  là  đạt được khi , chẳng hạn là .

Giá trị nhỏ nhất của y là , đạt được khi, chẳng hạn là

Câu 5: Tìm tập xác định của các hàm số
a)
b)
c)
d)

Giải:

1. a) Hàm só́ xác định khi và chỉ khi hay .

Vậy tập xác định của hàm số là

1. b) Hàm só xác dịnh khi và chỉ khi

Vậy tập xác định của hàm số  là

1. c) Hàm số xác định

Tập  là tập con của tập  (ứng với các giá trị  chẵn).

Vậy tập xác định của hàm số  là

1. d) Biểu thức luôn không âm và nó có nghĩa khi , hay . Vậy ta phải có , do đó tập xác định của hàm số là

Câu 6: Xác định chu kì tuần hoàn của các hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Áp dụng: Hàm số  tuần hoàn với chu kì

1. b) Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Áp dụng: Hàm số  tuần hoàn với chu kì

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a)
b)
c)
d)

Giải

1. a) Vì nên , do đó .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 , đạt được khi

.

Giá trị nhỏ nhất của hàm só là -1 , đạt được khi

1. b) .

Ta có  nên .

Vậy .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 , đạt được khi

.

Giá trị lớn nhất của  là 3 , đạt được khi

1. c) Vì nên .

Giá trị nhỏ nhất của  là , đạt được khi .

Giá trị lớn nhất của  là , đạt được khi

1. d) .

Vì  nên ,

do đó .

Giá trị nhỏ nhất của  là -1 , đạt được khi

Giá trị lớn nhất của  là 3 , đạt được khi

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:  

Giải:

Ta có    

Mặt khác   .

Câu 2: Tìm tập xác định  của hàm số

Giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

,  xác định và  xác định.

= Ta có

=  xác định

=  xác định

Do đó hàm số xác định

Vậy tập xác định

Câu 3: Chứng minh hàm số  không tuần hoàn.

Giải:

Tập xác định .

= Giả sử

.    

Cho  và , ta được

. Điều này trái với định nghĩa là .

Vậy hàm số  không phải là hàm số tuần hoàn.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: hàm số . Tìm các giá trị của tham số  để hàm số xác định với mọi số thực (trên toàn trục số).

Giải:

Xét hàm số

.

Đặt .

Hàm số  xác định với mọi

.

Đặt  trên .

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy  hoặc

Yêu cầu bài toán

.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

Giải:

Ta có    

Đặt

Từ đề bài ta xét

Ta lập BBT của hàm số  trên .

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hay .