Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 8 (P4)

ÔN TẬP CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 4)

Bài 1:  Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

Trả lời:

Ta có

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)

⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Tính cos α.

Trả lời:

Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.

Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2

Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2

Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α

Tam giác CID có

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Trả lời:

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH  + Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

+ Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông) + Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)

SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Chứng minh S, H, I thẳng hàng.

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của BC

⇒ AI ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ SI ⊥ BC   (1)

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) .

Suy ra AH ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH    (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm S; H; I thẳng hàng.

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:

B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:

Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật

Bài 6: Cho hình chóp  có  và tam giác  vuông tại . Vẽ , . Điểm H nằm ở vị trí nào?

Trả lời:

Do  nên . Suy ra  là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà  vuông tại  nên  là trung điểm của .

Bài 7: Cho hình chóp  có các cạnh bên bằng nhau . Gọi  là hình chiếu của  lên mặt đáy .

Chứng minh .

Trả lời:

Vì hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

 và  là hình chiếu của  lên mặt đáy

Nên  tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Suy ra .

Bài 8:  Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

Trả lời:

Vì

Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là?

Trả lời:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều

Lại có, DA’ song song CB’ nên 60

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SC và đáy.
Trả lời:

Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC, cho nên:

.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào?

Trả lời:

Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA

Khi đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, cho nên:

Bài 12: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là  và chiều cao bằng . Thể tích của khối chóp bằng

Trả lời:

Ta có .

Bài 13: Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên  lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Thể tích khối chóp là:

.

Độ dài cạnh đáy tăng lên  lần thì diện tích mặt đáy tăng  lần.

Cạnh bên tăng lên  lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên  lần.

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên  lần thì thể tích của khối chóp tăng lên  lần.

Bài 14: Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy  và chiều cao  là?

Trả lời:

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy  và chiều cao  là

 .

Bài 15: Cho hình chóp  có đáy  là hình chữ nhật với , . Cạnh bên  vuông góc với đáy và đường thẳng  tạo với mặt phẳng  một góc . Tính thể tích  của khối chóp  theo .

Trả lời:

Ta có:

 là hình chiếu của  lên mặt phẳng (SAB).

.

Xét tam giác  vuông tại  có

 .

Xét tam giác  vuông tại  có .

Mà .

.

Bài 16: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh  Hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng  trùng với trọng tâm của tam giác  Cạnh bên  tạo với mặt phẳng  một góc bằng  Khoảng cách từ  tới mặt phẳng (SBC) tính theo  bằng?

Trả lời:

Đặc điểm hình: Góc giữa  tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách

Tính :

.

Bài 17: Cho hình chóp  có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với  Hình chiếu vuông góc của đỉnh  lên mặt phẳng (ABCD) là điểm  thuộc cạnh  sao cho  Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng  Khoảng từ điểm  đến mặt phẳng (SBC) tính theo  bằng?

Trả lời:

Kẻ  

 góc giữa hai mặt phẳng  và

 là  

Có ,  

Có ,

Kẻ , mà  

Mà

 .

Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC  là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

Do  là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC). Vậy  là hình chiếu của SH lên mp (ABC) . Ta có: . SH ⊥ (ABC) Mà . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H.

Bài 19: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh ,  và . Gọi  là góc giữa  và ,  là góc giữa  và . Giá trị  bằng?

Trả lời:

Để xác định góc giữa  và  ta xác định hình chiếu của  lên mặt phẳng . Ta có:  là hình chiếu của  trên ,  là hình chiếu của  trên  vì.

Vậy  là hình chiếu của  trên .

 vuông tại  .

Kẻ  tại  mà  nên .

   là hình chiếu vuông góc của  trên .

 vuông nên .

 vuông tại  .

Vậy .

Bài 20: Cho góc tam diện Sxyz với , , . Trên các tia , ,  lần lượt lấy các điểm  sao cho . Góc giữa hai mặt phẳng  và  bằng?

Trả lời:

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác , ta có

Tam giác  vuông cân tại  nên  ; tam giác  đều nên .

Vì  nên tam giác  vuông tại  

Gọi  là trung điểm  thì ta có

Mà  nên

Vậy