Bài tập file word toán 7 chân trời Chương 8 Bài 3: Tam giác cân

BÀI 3: TAM GIÁC CÂN

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho  cân tại B. Có  Tính

Đáp án:

 cân tại B

Mà

Bài 2: Cho  có . Chứng minh  vuông cân

Đáp án:

Xét  có vuông tại A

Mà AB = AC

vuông cân tại A

Bài 3: Cho tam giác  cân tại  có . Tính độ dài cạnh  và số đo của các góc còn lại của tam giác . Từ đó em có nhận xét gì?

Đáp án:

Vì tam giác  cân tại  

   và .

Ta có  hay .

.

Vậy  là tam giác vuông cân.

Bài 4: Cho tam giác  cân tại  có . Tính độ dài của các cạnh và số đo của các góc còn lại của tam giác . Từ đó em có nhận xét gì?

Đáp án:

Vì tam giác  cân tại     .

Ta có  hay .

  .

Vậy  là tam giác đều.

  .

Bài 5: Cho tam giác  có . Chứng minh rằng, tam giác  là tam giác cân.

Đáp án:

Ta có  suy ra .

Vì  nên tam giác  cân tại .

Bài 6: Cho tam giác  có . Chứng minh rằng, tam giác  là tam giác cân.

Đáp án:

Ta có  suy ra .

Vì  nên tam giác  cân tại .

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  cân tại A có  

Đáp án:

Tam giác  cân tại A

Ta có

Bài 2: Cho tam giác  cân tại A có

Đáp án:

Tam giác  cân tại A

Ta có

Bài 3: Cho tam giác  có  

Đáp án:

Ta có

 Tam giác ABC vuông tại A.

Mà

 Tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 4: Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA. Tính góc DAE.

Đáp án:

Trong tam giác cân , ta có: .

Tương tự, ,

từ đó .

Vậy .

Bài 5: Cho tam giác  vuông cân tại . Trên BC lấy M, N sao cho MB = CN = AB. Tính

Đáp án:

Có NC = AB mà AB = AC

Ta có: BA = BM  cân tại A

Mà  (  vuông cân tại A)

.

CMTT với  ta có .

. .

Xét  có

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  cân tại . Các tia phân giác của góc  và góc  cắt nhau tại . Qua  kẻ đường thẳng song song với . Đường thẳng này cắt cạnh  tại  và cắt cạnh  tại .

1. a) Trong hình vẽ, có những tam giác nào là tam giác cân?
2. b) Trong các tam giác trên, có những tam giác cân nào bằng nhau?
3. c) Chứng minh rằng .

Đáp án:

1. a) Vì cân (tại ) nên  (tính chất). Suy ra  hay .

Vậy  cân tại  (có hai góc bằng nhau).

Xét tam giác Beo có  (so le trong, EF // BC). Mà  Vậy

Vậy  cân tại  (có hai góc bằng nhau). Tương tự,  cân tại . bằng nhau.

1. b) Hai tam giác cân và có:  cân .

Mà  (theo tính chất) nên . Vậy .

1. c) suy ra và .

Mà  cân (chứng minh a) nên .

Từ (1) và (2) suy ra , suy ra .

Bài 2: Cho  đều, trên cạnh  lấy điểm , trên cạnh  lấy điểm , trên cạnh  lấy điểm  sao cho . Chứng minh  là tam giác đều.

Đáp án:

Ta có  đều),  (giả thiết).

Suy ra  hay .

Xét  có:  (chứng minh trên),  (giả thiết),  (tính chất tam giác đều).

Vậy  (c.g.c), suy ra .

Do đó  là tam giác đều (ba cạnh bằng nhau).

Bài 3: Cho  cân tại ; góc  nhọn. Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Qua  kẻ đường thẳng  và trên  lấy điểm  sao cho hai điểm  và  thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa  và . Chứng minh  cân.

Đáp án:

 cân)

 cân .

Vậy  cùng bằng (hai góc so le trong).

Vậy  (cùng bằng  ).

Mà ,

Trong (1) và (2) có . Vậy .

Xét  và  có ;

 (chứng minh trên); .

Vậy  (c.g.c). Suy ra .

Vậy  cân tại .

Bài 4: Cho tam giác  cân tại . Lấy các điểm  và  theo thứ tự thuộc các cạnh  sao cho . Gọi  là giao điểm của  và . Chứng minh rằng:

1. a) ;
2. b) . Từ đó suy ra ;
3. c) .

Đáp án:

1. a) cân tại nên .

Xét hai tam giác  và  có:

, góc  chung, .

Do đó,  (c.g.c), suy ra .

1. b) Vì nên .

 cân tại  nên .

Mà .

Do đó  hay .

Suy ra  cân tại . Vậy .

1. c) Ta có , mà (câu a), (câu b) nên .

Do đó  cân tại . Suy ra

 cân tại  nên . (2)

Mặt khác  (đối đỉnh) (3)

Từ  và (3), ta có . Suy ra .

Bài 5: Cho đoạn thẳng , điểm  nằm giữa hai điểm  và . Về một phía của , dựng các tam giác đều  và .

1. a) Chứng minh rằng .
2. b) Xác định góc giữa hai đường thẳng và .

Đáp án:

1. a) Xét và có:  thẳng hàng và  nằm giữa hai điểm  và  (giả thiết).

Vậy .

Mà  (giả thiết) nên .

Do đó  và  (giả thiết),  (giả thiết).

Suy ra  (c.g.c). Vậy .

1. b) Gọi là giao điểm của và . Từ câu a suy ra , do đó . Vậy góc giữa hai đường thẳng  và  bằng .

Bài 6: Cho tam giác  vuông cân tại  là điểm bất kì trên cạnh . Trong góc  vẽ tia  sao cho góc . Đường thẳng vuông góc với  tại  cắt  tại . Chứng minh tam giác  vuông cân.

Đáp án:

Lấy  thuộc  sao cho . Khi đó tam giác  vuông cân ở , suy ra  và .

Ta có:  (cùng phụ với  ).

Mặt khác: ,

,

 nên .

Xét  và  có:

;

Suy ra  g.c.g) .

Mà  EDC vuông ở D. Vậy tam giác EDC vuông cân ở D.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác  cân tại . Lấy I là điểm trong tam giác sao cho . Hãy tính góc ABI.

Đáp án:

Vẽ tam giác đều  sao cho  và  cùng phía đối với .

 (c.c.c) .

,

 cân tại ,

.

Bài 2: Tam giác  có . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Tính góc .

Đáp án:

Kẻ DE . Nối BE. Vì  nên . Vì tam giác DEC vuông tại E nên , suy ra

Mà  là cạnh đối diện với  nên

suy ra . Tam giác  cân tại  có  nên .
Tam giác  cân tại

Lại có: , suy ra .

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác  ta có .

Suy ra tam giác  cân tại .

Mà  nên tam giác  vuông cân tại A suy ra .

Khi đó . Vậy .