Bài tập file word toán 7 kết nối Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

BÀI 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, chứng minh AB – BC < AC < AB + BC

Đáp án:

Xét tam giác ABC, có AC < AB + BC (định lí 1)

Và AC > AB – BC (định lí 2)

Bài 2: Cho tam giác  có . Hỏi độ dài cạnh  có thể là  được không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có .

Theo bất đẳng thức tam giác ta có  hay  Do đó độ dài cạnh  không thể là  được.

Bài 3: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

1. a) 2 cm, 4 cm, 3cm.
2. b) 4 cm, 6 cm, 2 cm.
3. c) 4cm, 2cm, 8 cm.

Trường hợp nào là độ dài ba cạnh của tam giác

Đáp án:

1. a) Ta có , bộ ba dài thỏa mãn điều kiện nên đây có thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
2. b) Ta có , bộ ba dài không thỏa mãn điều kiện nên đây không thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
3. c) Ta có ba bộ dài không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 4: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào dưới đây không thể là ba cạnh của một tam giác

a, 2; 5; 7

b, 4; 5; 7

c, 4; 5; 8

Đáp án:

a, Ta có: 2 + 5 = 7 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên không lập thành một tam giác

b, Ta có: 4 + 5 = 9 > 7; 5 + 7 = 12 > 4; 4 + 7 =11 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

c, Ta có: 4 + 5 = 9 > 8; 5 + 8 = 13 > 4; 4 + 8 =12 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 7cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 7 > a > 7 – 2

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 7, 6}; {2, 7, 7}; {2, 7, 8}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, BC = 4cm. Tính AB biết AB nguyên

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có

Vậy độ dài cạnh AB là 4 cm

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 5cm. Tính chu vi tam giác ABC biết BC nguyên

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có

Vậy chu vi tam giác ABC là: 1 + 5 + 5 = 11 (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 6cm và độ dài cạnh BC nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có

   (cm)

 độ dài cạnh BC là 6 cm

 AB = BC

 Tam giác ABC cân tại B

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 4 cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 14 cm.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 4 cm

 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 4 + 4 = 8 > BC = 6 (cm)

AB + BC = 4 + 6 = 10 > AC = 4 (cm)

AC + BC = 4 + 6 = 10 > AB = 4 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 4 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 4 (cm)

AB + BC = 5 + 4 = 9 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 4 = 9 > AB = 5 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 4 cm, BC = 6cm

Hoặc AB = AC = 5 cm, BC = 4cm

Ta có tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 4 cm

Lại có chu vi tam giác ABC là 14 cm

 cm

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 18 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 5 cm

 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 5 + 8 = 13 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 8 = 13 > AB = 5 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 5 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 6,5 + 6,5 = 13 > BC = 5 (cm)

AB + BC = 6,5 + 5 = 11,5 > AC = 6,5 (cm)

AC + BC = 6,5 + 5 = 13 > AB = 6,5 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 6,5 cm, BC = 5cm

Bài 5: Độ dài hai cạnh của một tam giác  bằng  và . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số tự nhiên lẻ, tam giác  là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là .

Theo bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 5 . Do đó  là tam giác cân.

Bài 6: Độ dài hai cạnh của một tam giác  bằng  và . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số tự nhiên chẵn, tam giác  là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là .

Theo bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 4 . Do đó  là tam giác cân.

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác  là trung điểm cạnh . Trên tia đối của tia  lấy điểm  sao cho . Chứng minh:
a) ;
b) .

Đáp án:

1. a) Xét và có

 (gt)

2 góc đối đỉnh);

   (c.g.c)

1. b) Xét ta có:

 (bất đẳng thức tam giác)

Bài 2: Cho tam giác  có , tia phân giác góc  cắt đoạn thẳng  ở . Trên đoạn thẳng  lấy điểm .

Chứng minh: .

Đáp án:

Trên  lấy điểm  sao cho

Xét  có:

AF = AC (gt)

AE chung

 (AD là phân giác góc A)

   (c.g.c)

 (2 cạnh tương ứng)

Xét , ta có

Mà

.

Mặt khác

Do đó  (đpcm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. So sánh 2AM với AB + AC.

Đáp án:

Trên tia đối tia MA lấy điểm N sao cho AM = MN

Có M là trung điểm cạnh BC (gt)

Xét  và , ta có:

BM = CM (cmt)

AM = MN (gt)

2 góc đối đỉnh);

 =  (c.g.c)

 (2 cạnh tương ứng) (1)

 Xét , ta có AN < AB + CA (2)

Từ (1) và (2)

Lại có AN = 2AM (gt)

Bài 4: Cho  có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D . Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét  và  có

AB = AF

AE chung

 =  (c.g.c)

 Xét  có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB  FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2)  FC = AC – AB > EC - EB

Bài 5: Cho  vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng BC – BA > DC – DA.

Đáp án:

Xét  và , có

BD là cạnh huyền chung

 (vì BD là phân giác góc B)

 =  (ch -gn)

 BA = BH; DA = DH (2 cạnh tương ứng)

Xét  vuông tại H có CD > DH và HC > DC – DH (bất đẳng thức tam giác)

BC - BH = HC > DC - DH

Mà DH = DA, BH = BA (cmt)

BC - BA > DC - DA

Bài 6. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M trong góc xOz, vẽ MH vuông góc với Ox (H , MK  Oy (K ). Chứng minh rằng MH < MK.

Đáp án:

Gọi A là giao điểm của MK và Oz

Vẽ AB  Ox (B . Nối B với M

Xét

OA chung

 (Oz là phân giác xOy)

 =  (ch - gn)

 (2 cạnh tương ứng)

Xét  có BM < AB + AM (bất đẳng thức trong tam giác)

 hay

Mà MH < BM

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm  và  (hình vẽ). Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm  để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư sao cho độ dài đường dây là ngắn nhất.

Đáp án:

Gọi  là bờ sông phía  (khu dân cư) nối  cắt  tại

Ta chứng minh  là nhỏ nhất

Thật vậy: Giả sử  và

Xét  theo bất đẳng thức tam giác

Ta có

Do đó  là điểm cần tìm.

Điểm  nằm trên đường thẳng với  và .  là giao của  và .

Bài 2: Ba thành phố  là ba dỉnh của một tam giác; biết rằng:

1. a) Nếu đặt ở máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng thì thành phố  có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
2. b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng ?

Đáp án:

1. a) Trong ta có hay  vậy trạm phát tại  có bán kính hoạt động nhỏ hơn  thì thành phố  không nhận được tín hiệu.
2. b) Tương tự: Trạm phát tại có bán kính hoạt động bằng thì thành phố  nhận được tín hiệu.