LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho ABC có AB=6 cm,AC=3 cm,BC=4 cm. So sánh A, B , C

Đáp án:

Xét ∆ABC có AB > BC > AC  C > A > B (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết AB=1 cm,BC=3 cm, số đo độ dài cạnh AC là một số nguyên. Độ dài nào sau đây có thể là độ dài của cạnh AC?

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AC là x

Xét ∆ABC, ta có 3-1<x<3+1

⇒2<x<4 

Mà x là số nguyên

⇒x=3 

Vậy độ dài cạnh AB là 3cm

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm. Biết AG=x+2, AM=x+4. Tìm giá trị của x

Đáp án:

Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm

AGAM=23 

x+2x+4=23 

⇒3x+6=2x+8 

⇒x=2 

Bài 4: Cho ABC có AM,BN là hai đường trung tuyến, G là trọng tâm. Tính tỉ số GMAG

Đáp án:

Xét ∆ABC có G là trọng tâm 

AGAM=23;GMAM=13 

GMAG=12 

Bài 5: Cho góc xOy có số đo bằng 60,Oz là tia phân giác của góc xOy,M là điểm nằm trên tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến cạnh Oy là 5 cm. Tính khoảng cách từ M đến cạnh Ox

Đáp án:

Ta có Oz là tia phân giác của góc xOy, M ∈ Oz

Khoảng cách từ M đến Oy bằng khoảng cách từ M đến Ox

Mà khoảng cách từ M đến Oy là 5cm

Khoảng cách từ M đến Ox là 5cm

Bài 6: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm M bất kì. So sánh AM và BM.

Đáp án:

Xét ∆AMC có BM là đường vuông góc và AM là đường xiên 

⇒AM>BM 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC với AC<AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD=AB. Trền tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=AC. Nối các đoạn thẳng AD,AE. Hãy so sánh:

1. a) ADC và AEB
2. b) Các đoạn thẳng AD và AE.

Đáp án:

Vì AC < AB ABC<ACB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) (1)

 ∆ACE có AC = AE (gt)

∆ACE cân tại C

CAE=CEA 

Có ACB là góc ngoài tại đỉnh C của ∆ACE

ACB=CAE+CEA=2AEC (2)

∆ABD có AB = BD (gt)

∆ABD cân tại B

BAD=BDA 

Có ABC là góc ngoài tại đỉnh B của ∆ABD

ABC=BAD+BDA=2BDA (3)

Từ (1), (2) và (3) ADB<AEC hay ADC<AEB

b, Xét ∆AED có ADC<AEB hay ADE<AED

⇒AE<AD 

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 6cm, AM = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Đáp án:

Có ∆ABC cân tại A (gt)

Mà AM là trung tuyến 

AM cũng là đường cao của tam giác ABC. 

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC

M là trung điểm của BC

⇒BM=BC2=62=3 cm 

Xét ∆ABC vuông tại M có AB2=AM2+BM2 (định lí pytago)

AB2=42+32=25 

⇒AB=AC=5cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BH = BD. CH cắt AD tại K. Tính số đo góc CKA

Đáp án:

Gọi I là giao điểm của DH và AC

Chứng minh được DI AC.

Xét ∆ADC có AB DC, DI AC

⇒ H là trực tâm của ∆ADC

CK là đường cao của ∆ADC hay DK AD

Do đó CKA=90°

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC, K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng HK<BH<BC.

Đáp án:

Xét △BHC vuông tại H BH là đường vuông góc kẻ từ B đến AC

BC là độ dài đường xiên kẻ từ B đến AC BC>BH

Xét ΔBKH vuông tại K HK là đường vuông góc kẻ từ H đến AB,
BH là đường xiên kẻ từ H đến AB BH>HK

Từ (1) và (2)⇒HK<BH<BC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC=90°, các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Chứng minh ID = IE

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

⇒ DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Bài 6: Tìm x biết CI và BI là phân giác của ACB và ABC

Đáp án:

Ta có ACB+ ACB = 2.ICB+2.IBC = 2.( ICB+IBC)=2.23°+37°=120°

BAC=180°-120°=60° (tổng ba góc trong một tam giác)

Lại có CI và BI lần lượt là hai tia phân giác của ACB và ABC

⇒I là giao điểm ba đường phân goác trong ΔABC

⇒AI là tia phân giác của BAC

⇒x=BAC2=60°2=30° 

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có A = B+C. Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Tính góc BOC

Đáp án:

∆ABC có A +B+C=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà A = B+ C. (gt)

A = B+C=90°

Có AO, CO lần lượt là tia phân giác của A và C

BO là tia phân giác của B

OBC=12ABC; OCB=12ACB 

OBC+OCB=12ABC+ACB=1290°=45° 

Xét ∆ OBC, ta có:

OBC + OCB+BOC=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

BOC=180°-OCB+BOC=180°-45°=135° 

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D, biết ACB=50°, tính HDK

Đáp án:

Xét △CHK có: HCK+CHK+CKH=180° (1)

Xét △DHK có: HGD+DHK+DKH=180° (2)

Từ (1) và (2)

HCK+CHK+CKH=HGD+DHK+DKH=180°+180°

HCK+DHC+HDK+DKC=360°

Mà DHC=90°, DKC=90°, HCK=50°,

HDK=360°-90°-90°-50°=130° 

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AI = AK

Đáp án:

Xét △ABD có A1+B1=90° (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Xét △AEC có A1+C1=90° (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

B1=C1 (1)

Lại có: B1+B2=180°, C1+C2=180° (2) (hai góc kề bù)

Từ (1) và (2) B2=C2

Xét △ABI và △KCA, ta có:

AB = CK (cmt)

BI = AC (gt)

B2=C2 (2 góc đối đỉnh);

△ABI = △KCA (c.g.c)

⇒AI=AK (2 cạnh tương ứng) 

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD. Vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE.DE cắt AB,AC theo thứ tự ở I,K.

1. a) Tam giác IDH là tam giác gì? IB là đường gì đối với △IDH ?
2. b) Chứng minh rằng IHA = KHA

Đáp án:

IB là đường trung trực của HD ID=IH. 

IDH cân tại I.

IB vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, vừa là đường trung trực của IDH.
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có KC là đường phân giác của KEH. 

Xét HIK, có 

IB là đường phân giác của góc ngoài tại I,

KC là đường phân giác của góc ngoài tại K, 

chúng cắt nhau ở A nên HA là tia phân giác của góc IHK. 

IHA=KHA.

Bài 5: Cho tam giác ABC có A=120o. Các đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O. Đường phân giác góc ngoài của tam giác tại đỉnh B cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:

1. a) BO⊥BF
2. b) BDF=ADF
3. c) Các điểm D, E, F thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) AD và CE là hai tia phân giác cắt nhau tại O. Vậy BO là tia phân giác của ABC BO⊥BF.
2. b) A=120o A1=A2=60o

Tính được A3=A4=60o AF là phân giác của BAx. 

Vậy F là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại A và B của tam giác ABD BDF=FDA.

1. c) tam giác ADC có AE là tia phân giác của góc ngoài; CE là tia phân giác trong

⇒ DE là tia phân giác của BDA (theo b).

Vậy DE và DF trùng nhau, hay D, E, F thẳng hàng.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài CBx và BCy nằm trên tiap phân giác của góc A.

Đáp án:

Vẽ tia Bx là tia đối của tia BA và tia Cy là tia đối của tia CA.

Vẽ hai tia phân giác của hai góc CBx và BCy.

Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc CBx và BCy.

Vẽ IH⊥Bx(H∈Bx)

IK⊥Cy(K∈Cy) và IP⊥BC(P∈BC)

Vì I thuộc tia phân giác của góc CBx nên IH = IP tương tự I thuộc tia phân giác của góc Bcy nên IP = IK.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d sao cho AB không vuông góc với d. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho |MA−MB| có giá trị nhỏ nhất.

Đáp án:

Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB>AC, tia phân giác góc A cắt đoạn thẳng BC ở D. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E.

Chứng minh: AB-AC>EB-EC.

Đáp án:

Trên AB lấy điểm F sao cho AF=AC

Xét △AEF và△AEC có:

AF = AC (gt)

AE chung

A1=A2 (AD là phân giác góc A)

△AEF=△AEC (c.g.c)

⇒EF=EC (2 cạnh tương ứng)

Xét △BEF, ta có BF>BE-FE

Mà BF=AB-AF

⇒AB-AF>EB-FE. 

Mặt khác AF=AC;FE=EC

Do đó AB-AC>EB-EC (đpcm)