LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ∆ABC biết rằng: AB = 5cm, BC =  8cm, AC = 7cm

Đáp án:

∆ABC có AB < AC < BC   C < B < A (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: So sánh các cạnh của ∆ABC, biết A=35°, C=60°

Đáp án:

∆ABC, ta có A+ B+C=180° (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒35+B+60=180 

B=85° 

B>C>A  

⇒AC>AB>BC (định lí 2)

Bài 3: Cho 3 điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại B lấy điểm A bất kì. So sánh AB và AM.

Đáp án:

Xét ∆ABM có AM là đường vuông góc và AB là đường xiên 

⇒AB>BM 

Bài 4: Cho ba điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại M, ta lấy điểm A. So sánh BA và AM, AC và AM

Đáp án:

Xét ∆ABC có AM là đường vuông góc, BA và AC là đường xiên 

⇒BA>AM; AC>AM

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 4cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 4 > a > 4 – 2

⇒6>a>2 

⇒a∈{3, 4, 5} 

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 3, 4}; {2, 4, 4}; {2, 4, 5}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, BC = 6cm. Tính AB biết AB là một số nguyên tố

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có 3+6>a>6-3

⇒9>a>3 

 ⇒a=4, 5, 6, 7, 8

Mà a là một số nguyên tố

⇒a=5, 7 

Vậy có 2 tam giác tương ứng là {3, 5, 6}; {3, 6, 7}

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ∆ABC biết rằng độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6 

Đáp án:

Xét ∆ABC, có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6 

AB5=BC8=AC6 

⇒AB<AC<BC 

⇒ C < B<A

Bài 2: So sánh các cạnh của ∆ABC biết rằng số đo các góc A;B;C lần lượt tỉ lệ với 4, 3, 8

Đáp án:

Xét ∆ABC, số đo các góc A;B;C lần lượt tỉ lệ với 3, 4, 5

A4=B3=C8 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

A4=B3=C8=A+B+C4+3+8=18015=12 (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒ A4=12;B3=12;C8=12 

A=48°; B=36°; C=96° 

B<A<C 

⇒AC<BC<AB 

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn và B>C. Gọi M là hình chiếu của A trên BC. Hãy sắp xếp các đoạn thẳng AB,AM và AC theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì B>C nên theo định lí 2 bài 31 ta có AC>AB

M là hình chiếu của A trên BC nên AM là độ dài đường vuông góc kẻ từ A đến BC

AB và AC là các đường xiên kẻ từ A đến BC

Do đó AM<AB<AC.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC, K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng HK<BH<BC.

Đáp án:

Xét △BHC vuông tại H BH là đường vuông góc kẻ từ B đến AC

BC là độ dài đường xiên kẻ từ B đến AC BC>BH

Xét ΔBKH vuông tại K HK là đường vuông góc kẻ từ H đến AB,
BH là đường xiên kẻ từ H đến AB BH>HK

Từ (1) và (2)⇒HK<BH<BC.

Bài 5: Độ dài hai cạnh của một tam giác ABC bằng 5 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số nguyên tố, tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là x( cm),x∈N.

Theo bất đẳng thức tam giác 5-2<x<5+2

3<x<7 và x là số tự nhiên nên x∈{4;5;6} 

x là số nguyên tố nên x=5(cm). 

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 5(cm).

Do đó △ABC là tam giác cân.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 12 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 32 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 12 cm

⇒AB=AC=12 cm

⇒BC=32-12-12=8 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 12 + 12 = 24 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 12 + 8 = 20 > AC = 12 (cm)

AC + BC = 12 + 8 = 20 > AB = 12 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 12 cm

⇒AB=AC=10 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 10 + 10 = 20 > BC = 12 (cm)

AB + BC = 10 + 12 = 22 > AC = 10 (cm)

AC + BC = 10 + 12 = 22 > AB = 10 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 12 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 10 cm, BC = 12cm

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, CK vuông góc với AB tại K. So sánh HBC và KCB

Đáp án:

∆ABC có AB < AC suy ra ACB < ABC (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Có BH⊥AC, CK⊥AB

KBC+KCB=HBC+HCB=90° 

Mà HCB < KBC

KCB<HBC 

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB<AC<BC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Hai tia phân giác AD và BE cắt nhau tại H.

1. a) So sánh HA và HB
2. b) So sánh BD và CD.

Đáp án:

1. a) Ta có AD là tia phân giác của góc A

A1=A2=A2, 

BE là tia phân giác của góc B

B1=B2=B2

Mà AC<BC (gt)⇒B<A

hay B2<A2

Vậy B1<A1⇒HA< HB.

1. b) Trên AC lấy điểm F sao cho AF=AB. 

Ta có △ADB=△ADF (c.g.c)

AFD=ABD (góc tương ứng) và DF=DB mà AFD+DFC=180 (kề bù), tương tự ABD+DBx=180DFC=DBx mà DBx>C (góc ngoài của △ABC ) DFC>C trong △DFC có DFC>C

⇒DF<DC mà DF=BD(cmt)⇒DB<CD.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, H là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có ABH vuông tại A (gt)

⇒BA<BH (quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BH = BD + DH

⇒AB<BD+HD (1)

Lại có BH + HE = BE

⇒BH=BE-HE 

⇒BA<BE-HE (2)

Từ (1) và (2) ⇒AB+AB<BD+HD+BE-HE (3)

Có H là trung điểm AC

⇒AH=HC 

Xét ADH vuông tại D và CEH vuông tại E, ta có:

AH = HC (cmt)

AHD=CHE (2 góc đối đỉnh)

⇒ △ADH= CEH (ch-gn)

⇒HD=HE (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) ⇒2AB<BD+BE (dpcm)

Bài 4: Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD 

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE 

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

⇒DP=BP 

Vì PE > DP ⇒PE>BP ⇒AE>AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

⇒AC>AB 

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB>AC, tia phân giác góc A cắt đoạn thẳng BC ở D. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E.

Chứng minh: AB-AC>EB-EC.

Đáp án:

Trên AB lấy điểm F sao cho AF=AC

Xét △AEF và△AEC có:

AF = AC (gt)

AE chung

A1=A2 (AD là phân giác góc A)

△AEF=△AEC (c.g.c)

⇒EF=EC (2 cạnh tương ứng)

Xét △BEF, ta có BF>BE-FE

Mà BF=AB-AF

⇒AB-AF>EB-FE. 

Mặt khác AF=AC;FE=EC

Do đó AB-AC>EB-EC (đpcm)

Bài 6. Cho △ABC có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D ∈BC). Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét △ABE và △AFE có 

AB = AF

BAE=FAE 

AE chung

△ABE = △AFE (c.g.c)

⇒BE=EF 

 Xét △EFC có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2) FC = AC – AB > EC - EB

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác nhọn BAC có AB < AC và hai đường cao BE, CF. Chứng minh rằng AC + BE > AB + CF.

Đáp án:

Trên AC lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB.

Kẻ B’E’ AB, B’H ⊥ FC, ta có:

AC + BE = AB’ +  B’C + B’E’

= AB + B’C + FH > AB + HC + FH = AB + CF

AC + BE > AB + CF

Bài 2: Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác ấy nhỏ hơn chu vi, nhưng lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

Trong △AMB có AM + MB > c

Trong △AMC có AM  + MC > b

Trong △BMC có BM+MC>a

2(AM + MB + MC) > a + b + c

Hay AM + BM + MC > a+b+c2

Gọi N là giao điểm của AM và BC

Ta có AC + BC = (AC + CN) + NB > AN + NB

= AM + (MN + NB) > AM + MB, tức MA + MB < a+ b

Tương tự, MB + MC < b + c, MC + MA < c + a

Suy ra 2(MA + MB + MC) < 2(a + b + c)

Hay MA + MB + MC < a + b + c