Bài tập file word toán 7 kết nối bài Luyện tập chung trang 71

LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ABC biết rằng: AB = 5cm, BC =  8cm, AC = 7cm

Đáp án:

ABC có AB < AC < BC       < <  (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: So sánh các cạnh của ABC, biết ,

Đáp án:

ABC, ta có  (tổng 3 góc trong một tam giác)

 (định lí 2)

Bài 3: Cho 3 điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại B lấy điểm A bất kì. So sánh AB và AM.

Đáp án:

Xét  có AM là đường vuông góc và AB là đường xiên

Bài 4: Cho ba điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại M, ta lấy điểm A. So sánh BA và AM, AC và AM

Đáp án:

Xét  có AM là đường vuông góc, BA và AC là đường xiên

;

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 4cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 4 > a > 4 – 2

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 3, 4}; {2, 4, 4}; {2, 4, 5}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, BC = 6cm. Tính AB biết AB là một số nguyên tố

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có

Mà a là một số nguyên tố

Vậy có 2 tam giác tương ứng là {3, 5, 6}; {3, 6, 7}

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ABC biết rằng độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6

Đáp án:

Xét ABC, có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6

 <

Bài 2: So sánh các cạnh của ABC biết rằng số đo các góc  lần lượt tỉ lệ với 4, 3, 8

Đáp án:

Xét ABC, số đo các góc  lần lượt tỉ lệ với 3, 4, 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 (tổng 3 góc trong một tam giác)

Bài 3: Cho tam giác  nhọn và . Gọi  là hình chiếu của  trên . Hãy sắp xếp các đoạn thẳng  và  theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì  nên theo định lí 2 bài 31 ta có

 là hình chiếu của  trên  nên  là độ dài đường vuông góc kẻ từ  đến

 và  là các đường xiên kẻ từ A đến

Do đó .

Bài 4: Cho tam giác  nhọn có  là hình chiếu của  trên đường thẳng ,  là hình chiếu của  trên đường thẳng . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Xét  vuông tại      là đường vuông góc kẻ từ  đến

 là độ dài đường xiên kẻ từ  đến    

Xét  vuông tại      là đường vuông góc kẻ từ  đến ,
 là đường xiên kẻ từ  đến    

Từ (1) và .

Bài 5: Độ dài hai cạnh của một tam giác  bằng  và . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số nguyên tố, tam giác  là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là .

Theo bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 5 .

Do đó  là tam giác cân.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 12 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 32 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 12 cm

 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 12 + 12 = 24 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 12 + 8 = 20 > AC = 12 (cm)

AC + BC = 12 + 8 = 20 > AB = 12 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 12 cm

 cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 10 + 10 = 20 > BC = 12 (cm)

AB + BC = 10 + 12 = 22 > AC = 10 (cm)

AC + BC = 10 + 12 = 22 > AB = 10 (cm)

 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 12 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 10 cm, BC = 12cm

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, CK vuông góc với AB tại K. So sánh  và

Đáp án:

ABC có AB < AC suy ra  <  (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Có

Mà  <

Bài 2: Cho tam giác  có . Tia phân giác của góc  cắt  tại , tia phân giác của góc  cắt  tại . Hai tia phân giác  và  cắt nhau tại .

1. a) So sánh HA và HB
2. b) So sánh và .

Đáp án:

1. a) Ta có là tia phân giác của góc

,

BE là tia phân giác của góc

Mà

hay

Vậy  HB.

1. b) Trên lấy điểm sao cho .

Ta có  (c.g.c)

 (góc tương ứng) và  mà  (kề bù), tương tự  mà  (góc ngoài của  )  trong  có

 mà .

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, H là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có  vuông tại  (gt)

 (quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BH = BD + DH

 (1)

Lại có BH + HE = BE

 (2)

Từ (1) và (2)  (3)

Có H là trung điểm AC

Xét  vuông tại D và  vuông tại E, ta có:

AH = HC (cmt)

 (2 góc đối đỉnh)

   (ch-gn)

 (2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4)  (dpcm)

Bài 4: Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP  BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì PE > DP    (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

Bài 5: Cho tam giác  có , tia phân giác góc  cắt đoạn thẳng  ở . Trên đoạn thẳng  lấy điểm .

Chứng minh: .

Đáp án:

Trên  lấy điểm  sao cho

Xét  có:

AF = AC (gt)

AE chung

 (AD là phân giác góc A)

   (c.g.c)

 (2 cạnh tương ứng)

Xét , ta có

Mà

.

Mặt khác

Do đó  (đpcm)

Bài 6. Cho  có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D . Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét  và  có

AB = AF

AE chung

 =  (c.g.c)

 Xét  có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB  FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2)  FC = AC – AB > EC - EB

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác nhọn BAC có AB < AC và hai đường cao BE, CF. Chứng minh rằng AC + BE > AB + CF.

Đáp án:

Trên AC lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB.

Kẻ B’E’  AB, B’H FC, ta có:

AC + BE = AB’ +  B’C + B’E’

          = AB + B’C + FH > AB + HC + FH = AB + CF

AC + BE > AB + CF

Bài 2: Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác ấy nhỏ hơn chu vi, nhưng lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

Trong  có AM + MB > c

Trong  có AM  + MC > b

Trong

 2(AM + MB + MC) > a + b + c

Hay AM + BM + MC >

Gọi N là giao điểm của AM và BC

Ta có AC + BC = (AC + CN) + NB > AN + NB

= AM + (MN + NB) > AM + MB, tức MA + MB < a+ b

Tương tự, MB + MC < b + c, MC + MA < c + a

Suy ra 2(MA + MB + MC) < 2(a + b + c)

Hay MA + MB + MC < a + b + c