Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 4: Hình bình hành

BÀI 4: HÌNH BÌNH HÀNH

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có , số đo các góc còn lại của hình bình hành là?

Giải: 

Theo tính chất của hình bình hành ta có  

Khi đó ta có

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có . Xác định số đo góc ?

Giải: 

Theo giả thiết, ta có

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên

Khi đó ta có

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có. Xác định số đo các góc của hình bình hành?

Giải:

Trong hình bình hành ABCD có

Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có

Câu 4: Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD biết

Giải:

Trong hình bình hành ABCD có

nên

Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có

Câu 5: Trong các tứ giác ở hình sau, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Giải:

• ABCD là hình bình hình vì có các cạnh đối bằng nhau
• EFGH là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau 
• PQRS là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
• XYUV là hình bình hành vì có XV = YU và XV // YU

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BE = DF.

Giải: 

Ta có:

Mà AD = BF (ABCD là hình bình hành)  

 => DE = BF

Tứ giác BEDF có:

DE // BF (vì AD // BC) 

DE = BF

Nên BEDF là hình bình hành suy ra BE = DF

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

1. a) Chứng minh rằng DE // BF
2. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

Giải: 

1. a) Ta có:

ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD ⇒ (Hai góc so le trong) (1)

DE là tia phân giác của góc D ⇒

BF là tia phân giác của góc B ⇒

Mà (do ABCD là hình bình hành)

⇒ (2)

Từ (1) và (2)  ⇒

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BF (đpcm)

1. b) Tứ giác DEBF có:

DE // BF (chứng minh ở câu a)

BE // DF (vì AB // CD)

Nên theo định nghĩa DEBF là hình bình hành.

Câu 3: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải: 

Tứ giác EFGH là hình bình hành.

EB = EA, FB = FC (gt) nên EF là đường trung bình của ΔABC

Do đó EF // AC.

Tương tự HG là đường trung bình của ΔACD do đó HG // AC

Suy ra EF // HG (1)

Tương tự: EH // FG (2)

Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết 1).

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:

1. a) AI // CK
2. b) DM = MN = NB

Giải:

+ K là trung điểm của AB ⇒

+ I là trung điểm của CD ⇒

+ ABCD là hình bình hành

⇒ AB // CD hay AK // CI

và AB = CD ⇒ hay AK = CI

+ Tứ giác AKCI có AK // CI và AK = CI ⇒ AKCI là hình bình hành.

1. b)  AKCI là hình bình hành ⇒ AI//KC hay MI//NC.

ΔDNC có: DI = IC, IM // NC ⇒ DM = MN (1)

+ AI // KC hay KN//AM

ΔBAM có: AK = KB, KN//AM ⇒ MN = NB (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB.

Câu 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho CB = CE. Chứng minh AECD là hình bình hành.

Giải:

Dễ thấy tam giác BCE cân tại C suy ra  

Ta lại có  

Mà   Nên  

Suy ra  (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra AECD là hình bình hành

Câu 6: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại N cắt nhau ở O.

1. a) Trên tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng AHBK là hình bình hành.
2. b) Chứng minh .

Giải:

1. a) Tam giác có

nên OM là đường trung bình của  

Suy ra . 

Ta lại có (cùng vuông góc với BC).

Suy ra .

Chứng minh tương tự ta có: .

Tứ giác AHBK có nên là hình bình hành.

1. b) AHBK là hình bình hành nên .

Ta lại có nên .

Câu 7: Cho hình bình hành . Gọi và theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ và từ đến . Chứng minh rằng là hình bình hành.

Giải:

Xét và

(cạnh đối hình bình hành)

(so le trong, ). 

Vậy (trường hợp cạnh huyền và góc nhọn), suy ra  

Ta lại có (cùng vuông góc với ). 

Tứ giác có nên là hình bình hành.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có , phân giác góc   đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh:

1. a)
2. b) đều, cân
3. c)

Giải:

1. a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB

ta có   (1) (so le trong). 

Mặt khác, DM là phân giác góc D 

nên  (2)

(1), (2)

 Do đó tam giác ADM cân tại A.

Vậy   

1. b) Trong hình bình hành ABCD, và . Tam giác ADE cân và có một góc bằng 600, nên tam giác ADE đều.

Theo trên, tâm giác ADE đều nên , suy ra tam giác AEC cân tại E.

1. c) Vì ADE đều và ACE cân tại E nên (góc ngoài của AEC)

Mặt khác , suy ra . 

Vậy  

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm E, F lần lượt lấy trên BC, AD sao cho , và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H. Chứng minh rằng

1. a)
2. b) Tứ giác là hình bình hành.

Giải:

1. a) Trong , B trên cạnh AG, E trên cạnh FG. 

Ta có  và  

suy ra BE là đường trung bình trong . 

Do đó E là trung điểm của GF (1).

Chứng minh tương tự, DF là đường trung bình 

trong , nên F là trung điểm của HE (2). 

Từ (1) và (2) suy ra .

1. b) Ta có và suy ra . 

Mặt khác , do vậy tứ giác là hình bình hành.

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD.

1. a) Chứng minh AHCK là hình bình hành.
2. b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh A, O, C thẳng hàng.
   Giải:

1. a) Từ giả thiết ta có: ⇒ AH // CK (1) 

Áp dụng tính chất về cạnh của hình bình hành và tính chất của các góc so le ta có

⇒ ΔADH = ΔCBK (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn) 

⇒ AH = CK (cạnh tương tương ứng bằng nhau) (2) 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. b) Áp dụng tính chất đường chéo của hình bình hành AHCK 

Hình bình hành AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

Do O là trung điểm của HK nênO cũng là trung điểm của AC 

⇒ A, O, C thẳng hàng

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh rằng:

1. a)
2. b)
3. c)

Giải:

1. a) Ta có và

nên tứ giác AIBG là hình bình hành

suy ra ; .

1. b) , mà

do đó  

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC. 

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong , HE là đường trung bình, do đó .

 Vậy  

1. c) Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong

Suy ra (Vì   là hình bình hành). 

Vậy  

Câu 2: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC.

1. a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
2. b) Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì DE đi qua A?
3. c) Chứng minh rằng .

Giải: 

1. a) Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra BDCE là hình bình hành.

1. b) Vì là hình bình hành và M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE.

DE đi qua A khi và chỉ khi A, E, M thẳng hàng. 

Vì E là giao điểm hai đường cao BH và CK nên AE là đường cao trong tam giác ABC. 

Vậy AE qua M khi và chỉ khi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A trùng nhau, hay tam giác   cân tại A.

1. c) Trong tứ giác ABDC:  , mà

nên .

Vậy .