Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 Bài tập cuối chương V

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

 (15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tìm độ dài trên hình sau

Giải: 

1. a) Áp dụng định lí Py – ta – go ta có :
2. b) Áp dụng định lí Py – ta – go ta có : 

Câu 2: Cho hình vẽ. Tính

Giải:

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

a)

1. b) Vì góc ngoài tai K  có số đo là nên

Góc ngoài tai L có so đo là nên

Ta có tổng các góc trong một tứ giác là

Câu 3: Cho hình thang cân (như hình vẽ) có . Số đo của

Giải: 

Áp dụng tính chất của hình thang cân ta có:

Mà

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có , số đo các góc còn lại của hình bình hành là?

Giải: 

Theo tính chất của hình bình hành ta có  

Khi đó ta có

Câu 5: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 4 cm, tổng hai đường chéo bằng    10 cm.

Giải:

Gọi độ dài hai đường chéo là và , ta có và  

Suy ra  

Diện tích hình thoi bằng

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD biết

1. a) Tính số đo các góc của tứ giác.
2. b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của  và của tứ giác. Chứng minh:

Giải:

1. a) Từ giả thiết ta có:

Vì .

.

.

1. b) Trong tam giác ABI: .

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

1. a) Chứng minh rằng DE // BF
2. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

Giải: 

1. a) Ta có:

ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD ⇒ (Hai góc so le trong) (1)

DE là tia phân giác của góc D ⇒

BF là tia phân giác của góc B ⇒

Mà (do ABCD là hình bình hành)

⇒ (2)

Từ (1) và (2)  ⇒

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BF (đpcm)

1. b) Tứ giác DEBF có:

DE // BF (chứng minh ở câu a)

BE // DF (vì AB // CD)

Nên theo định nghĩa DEBF là hình bình hành.

Câu 3: Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi

Giải:

Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên và (1).

Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên và (1).

Từ (1) và (2) suy ra  và . Do đó   là hình bình hành.

Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung bình, ta có . 

Theo giả thiết, nên  

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi. 

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có M; N và H lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Hỏi tứ giác AMHN là hình gì?

Giải: 

Vì N và H lần lượt là trung điểm của AC và BC nên NH là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Chứng minh tương tự, có MH là đường trung bình của tam giác ABC nên

Tứ giác AMHN có 2 các cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành

Lại có nên tứ giác AMHN là hình chữ nhât.

Theo giả thiết, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AC = AB (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: NH = MH.

Hình chữ nhật AMHN có hai cạnh liền kề NH và MH bằng nhau nên là hình vuông

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật. 

Giải:

cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác. 

Do đó và

Ta có AH // DN (vì cùng vuông góc với BC) 

(cặp góc đồng vị); (cặp góc so le trong).

Do đó (vì

Vậy cân tại A mà AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao,

Tứ giác   có nên tứ giác là hình chữ nhật.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho có . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho . Chứng minh rằng

1. a) vuông
2. b)

Giải:

1. a) Có: .

Vậy vuông tại (Định lý Pythagore đảo)

1. b) Áp dụng định lý Pythagore cho vuông tại có:

Có nên .

có nên cân tại .

   (t/c tam giác cân) (1)

Lại có:  (tính chất góc ngoài tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Câu 2: Cho hình thang ABCD cân có AB // CD và AB < CD. Kẻ các đường cao AE, BF.

1. a) Chứng minh rằng: DE = CF.
2. b) Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình thang ABCD. Chứng minh: IA = IB.

Giải:

1. a) (cạnh huyền – góc nhọn)

(2 cạnh tương ứng)

1. b) 

(2 góc tương ứng)

cân tại I . 

Có  

Câu 3: Cho tam giác vuông ở , đường cao , trung tuyến . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của trên .

1. a) Tứ giác ADHE là hình gì?
2. b) Chứng minh . Trong trường hợp nào thì ?
3. c) Chứng minh .

Giải:

1. a) Tứ giác có nên là hình chữ nhật, do đó .
2. b) Ta lại có: do đó .

Mà . 

Khi đó là tam giác vuông cân ở .

1. c) Gọi là giao điểm của và . là giao điểm của và . 

Ta có: (do cân ở  )

(do cân ở  ) nên

Do đó .

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC.

1. a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
2. b) Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì DE đi qua A?
3. c) Chứng minh rằng .

Giải: 

1. a) Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra BDCE là hình bình hành.

1. b) Vì là hình bình hành và M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE.

DE đi qua A khi và chỉ khi A, E, M thẳng hàng. 

Vì E là giao điểm hai đường cao BH và CK nên AE là đường cao trong tam giác ABC. 

Vậy AE qua M khi và chỉ khi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A trùng nhau, hay tam giác   cân tại A.

1. c) Trong tứ giác ABDC:  , mà

nên .

Vậy .

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD. 

Xét tứ giác EDFB có   nên EDFB là hình bình hành               Suy ra 

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒

Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có  ⇒ EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD