CHƯƠNG 8: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. HÌNH ĐỒNG DẠNG

BÀI 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1:  Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với cạnh BC và cắt AC tại N (Hình 1). Hãy chứng minh N là trung điểm của AC

Giải:

Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

Suy ra N là trung điểm của AC

Câu 2: Tìm độ dài đoạn thẳng NQ trong Hình 4

Giải:

Ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // PQ

Xét tam giác OPQ ta có: MN//PQ, M là trung điểm OP suy ra MN là đường trung bình tam giác OPQ

⇒ N là trung điểm OQ ⇒NQ = ON = 4

Câu 3: Trong Hình 5, chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC 

Giải:

Ta có: MN⊥AB, AC⊥AB nên MN // AC

Xét tam giác ABC có: MN // AC, M là trung điểm AB suy ra MN là đường trung bình tam giác ABC

Câu 4: Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

1. a) Tính các tỉ số 
2. b) Chứng minh MN // BC
3. c) Chứng minh 

Giải:

1. a) Vì M là trung điểm AB suy ra 

Tương tự, 

1. b) Xét tam giác ABC có:  theo định lí Thales đảo ta có: MN // BC
2. c) Xét tam giác ABC có MN // BC, áp dụng hệ quả định lí Thales, ta có:

Câu 5. Tính độ dài đoạn PQ (Hình 10)

Giải:

Xét tam giác ABC có: AP = PB = 8cm; AQ = QC = 7 cm suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên (cm)

Câu 6. Cho MN là đường trung bình của mỗi tam giác ABC trong Hình 9. Hãy tìm giá trị x trong mỗi hình

Giải:

1. a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2 MN suy ra x = 12
2. b) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN suy ra 2x + 3 = 14 suy ra x = 
3. c) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: 

BC = 2MN suy ra 58=2(5x−1)⇒58=10x−2⇒x=6

Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC; b) AM là đường trung trực của EF.

Giải:

1. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. 

Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1). 

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. 

Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC; 

1. b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF. 

Suy ra AM là đường trung trực của EF.

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và tia Hy vuông góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh: 

1. a) A là trung điểm của DE; 
2. b)
3. c) PQ = AH.

Giải:

1. a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH cân tại A. 

Khi đó: và AD = AH = AE. 

Từ đó, suy ra được A, D, E thẳng hàng và A là trung điểm DE. 

1. b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE ⇒ ĐPCM. 
2. c) Có AH = AD = AE = 1 2 DE, mà ⇒ AH = PQ.

Câu 2. Trong Hình 8, cho biết JK = 10 cm, DE = 6.5 cm, EL = 3.7 cm. Tính DJ, EF, DF, KL

Giải:

D là trung điểm của JK suy ra  

E là trung điểm của JL suy ra JL = 2EL = 2 . 3,7 = 7,4 (cm)

Trong tam giác JKL có D, E lần lượt là trung điểm của JK và JL suy ra DE là đường trung bình của tam giác JKL suy ra KL = 2DE = 2 . 6,5 = 13 (cm)

Tương tự, ta có: EF là đường trung bình của tam giác JKL 

suy ra  (cm)

DF là đường trung bình tam giác JKL

Suy ra DF = cm.

Câu 3: Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1 cm. Tính độ dài các đoạn PQ, PR, RQ, AB, BC, CA trong Hình 11 

Giải:

Ta có: 

Xét tam giác ABC có:

 P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AC 

suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên 

Tương tự:

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC (Hình 12).

1. a) Tam giác FBA và tam giác FCK có bằng nhau không? Vì sao?
2. b) Chứng minh EF // CD // AB
3. c) Chứng minh 

Giải:

1. a) Xét tam giác FBA và FCK ta có:

 (hai góc đối đỉnh)

FB = FC (gt)

(AB // CD, hai góc so le trong)

Suy ra 

1. b)  suy ra FA = FK

Xét tam giác ADK có: EA = ED, FA = FK, suy ra EF là đường trng bình tam giác ABC nên EF // DK

Mà AB // CD suy ra EF//CD//AB

1. c) EF là đường trung bình tam giác ADK suy ra 

Mà CK = BA (do ) nên 

Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân. 

Giải:

Xét tam giác ABC ta có:

M là trung điểm của AB (gt) ;

N là trung điểm của AC (gt) ;

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MN//BC

⇒ Tứ giác MNPH là hình thang.

Xét tam giác ABC ta có 

M là trung điểm của AB (gt) ;

P là trung điểm của BC

⇒MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒

ΔACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC)⇒NH=12AC. Mà MP=12AC(cmt)

⇒NH=MP

Hình thang MNPH (MN//PH) có MP=NH nên là hình thang cân.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Giữa hai điểm B và C có một hồ nước (xem hình bên). Biết DE = 45 m. Làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C

Giải: 

Theo kiến thức bài trước:

Xét tam giác ABC ta có: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Suy ra , vậy BC = 2DE = 90 (m)

Sau khi học xong bài này:

Ta có: D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra  vậy BC = 2DE = 90 (m)

Câu 2: Một mái nhà được vẽ lại như Hình 13. Tính độ dài x trong hình mái nhà.

Giải:

Xét tam giác ABH có: AD = BD, BE = EH suy ra DE là đường trung bình tam giác ABH nên  ⇒(m)

Câu 3. Ảnh chụp từ Google Maps của một trường học được cho trong Hình 14. Hãy tính chiều dài cạnh DE, cho biết BC = 232 m và B, C lần lượt là trung điểm AD và AE

Giải:

Xét tam giác ADE có: B, C lần lượt là trung điểm AD và AE nên BC là đường trung bình của tam giác ADE 

suy ra DE=2BC=2×232=464 (m)

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh

Giải:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m. Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

⇒

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D. 

⇒ và  

Thay vào (1) ta được ĐPCM.

Câu 2. Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A'; B'; C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng BB' + CC' = 2AA'

Giải:

Gọi N là hình chiếu của M trên d. 

Xét tứ giác BB'CC' có BB' // CC' (cùng vuông góc d) 

⇒ BBCC' là hình thang. 

M là trung điểm BC và MN // BB' // CC' (cùng vuông góc d) 

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BBCC' 

⇒ BB' + CC' = 2MN (1) 

Chứng minh được

⇒ AA' = MN  (2) 

Từ (1); (2) suy ra BB' + CC' = 2AA'