CHƯƠNG 8: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. HÌNH ĐỒNG DẠNG

Bài 7: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI CỦA TAM GIÁC

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1: Cho hình thang ABCD , biết Chứng minh ΔABD∽ΔBDC. 

Giải

Ta chứng minh được   và . 

Từ đó suy ra ΔABD∽ΔBDC(c.gc) 

Câu 2: Cho , phân giác Ot. Trên Ox lấy các điểm A và sao cho , trên Oy lấy các điểm và C sao cho trên tia Ot lấy các điểm B và sao cho Chứng minh:

1. a) ΔOAB∽ΔOA'B'; b)

Giải

1. a) Chứng minh được ΔOAB∽ΔOA'B'(c.g.c)
2. b) Chứng minh được

Câu 3:  Cho ABC có , ,. Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho , . Chứng minh :

1. a) ΔAEB ∽ΔADC b) c)

Giải

1. a) Xét tam giác AEB và tam giác ADC có                          

;

 Mặt khác lai có góc A chung                                            

ΔAEB ∽ΔADC (c-g-c)

1. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có

  (hai góc tương ứng)

1. c) Theo câu b) ta cóΔAED∽Δ ABC

Câu 4: 

Cho ΔABC có AB =18 cm; AC =27 cm;  BC=30 cm. Gọi  D là trung  điểm  của  AB, E thuộc cạnh  AC sao cho  AE cm = 6 . 

1. a) Chứng minh rằng:  ΔAED ∽ ΔABC
2. b) Tính độ dài DE

Giải

1. a) Xét AED và ABC ta có:

A chung

AEAB=618=13;ADAC=927=13ADAB=ADAC 

⇒ ΔAED ∽ ΔABC (c.g.c)

b, Vì ΔAED ∽ ΔABC nên ta có:

DECB=AEABDE30=13⇒DE=10cm  

Câu 5: 

Hình thang ABCD (AB// CD) có AB = 2cm; BD= 4 cm; CD = 8cm. Chứng minh rằng  A=DBC

Giải

Xét ABD và BDC ta có: 

ABD=BDC (2 góc so le trong) 

ABBD=24=12;BDDC=48=12ABBD=BDDC 

Vậy ABD ∽BDC (c.g.c) 

A=DBC

Câu 6: 

Cho hình thoi  ABCD có góc A = 60° . Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia đối của các tia  BA, DA theo thứ tự ở E, F . Chứng minh rằng:

a, EBBA=ADDF

1. b) ΔEBD ∽ ΔBDF

Giải

1. a) Do BC//AF nên ta có: EBBA=ECCF

Mà CD//AE nên ta có: ADDF=ECCF

Do đó EBBA=ADDF

1. b) Vì AB = BD = AD theo a ta có: EBBA=ADDF

mà EBD=BDF=120°

do đó ΔEBD ∽ ΔBDF (c.g.c) 

Câu 7: 

Cho  Δ ABC có B=2C ,  AB = 8cm; BC =10cm 

1. a) Tính  AC 
2. b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?

Giải

1. a) Vẽ tia phân giác BE của ABC

⇒ Δ ABE  ∽ Δ ACB (c – g - c) 

⇒ AC = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144

⇒ AC = 12 cm

1. b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c

Thì từ câu a ta có b2  = a(a + c) (1).   Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2= a2  + ac ⇔ 2a + 1 = ac  ⇔ a(c – 2) = 1

⇒a = 1; b = 2; c = 3 (loại)  

+ Nếu b = a + 2 thì  a(c – 4) = 4  

- Với a = 1 thì c = 8 (loại)  

- Với a = 2 thì c = 6 (loại)  

- Với a = 4 thì c = 6 ; b = 5  

Vậy a = 4; b = 5; c = 6

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1:  Chứng minh rằng nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC theo tỉ số k thì tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.

Giải

HD: a)   có AD và   lần lượt là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A và A’ xuống cạnh BC và B’C’ của hai tam giác đó.

Ta có . Có . 

Vậy (c-g-c) Từ đó suy ra

Câu 2: Cho tam giác ABC có Chứng minh  

Giải

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho . Chứng minh được ΔABC∽ΔACE(c.g.c)  

suy ra   

Từ đó ta có   

Câu 3:

Cho hình thang ABCD(AB//CD, A=D=90°;AB=2;CD=,5;BD= 3. Chứng minh rằng  BC ⊥ BD

Giải

Xét  ΔBAD và  ΔDBC  có   

ABD=BDC (2 góc so le trong)  

ABBD=BDDC=23

⇒ ΔBAD ∽ ΔDBC  (c - g - c)  

⇒ A=DBC=90° 

⇒  BC ⊥ BD

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD. Kẻ  AH ⊥ CD AK ⊥ BC. Chứng minh rằng ΔKAH ∽ ΔABC

Giải

Ta có :  SABCD = AH.DC = AK .BC 

  AH.AB = AK.BC

 ABBC=AKAH  

Xét ΔABC và ΔKAH có

   B= KAH (cùng phụ với  BAK)  

ABBC=AKAH (chứng minh trên)  

⇒ ΔABC ∽ ΔKAH (c- g - c)

Câu 5: 

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt đường thẳng CD tại M , tia DEcắt đường thẳng  AB tại N . Chứng minh rằng

a, ΔNBC ∽ ΔBCM

b, BM ⊥ CN

Giải

Ta có AB//CM ⇒ ABCMEBEC      (1)  

BN / / CD ⇒ BNCDEBEC      (2)                      

Từ (1) và (2)  ⇒  ABCM=BNCD               (3)  

Mặt khác  AB= BC= CD nên từ (3) suy ra  

BCCM=BNCB 

Xét  ΔNBC và ΔBCM  có: 

NBC= BCM  90° ;  

BCCM=BNCB

⇒ ΔNBC ∽ΔBCM (c – g - c)  

1. b) Gọi Olà giao điểm của  BM và CN .  

Xét  ΔOCM  có OMC MCO BCN MCO  90° 

MOC= 90° ⇒ BM CN

3. VẬN DỤNG ( 4 câu)

Câu 1:  Cho hình thoi ABCD có . Gọi M là một cạnh thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.

1. a) Chứng minh ;
2. b) BM cắt DN tại P. Tính góc .

Giải

1. a) Ta có ( do AD // BC) suy ra hay (1)  (vì BC = AB).

Ta có NA // DC ( do AB // DC) suy ra ΔNAM∽ΔCDM⇒NAAM=CDDM hay (2) (vì ).

Từ (1) và (2) suy ra hay .

1. b) Từ

Xét BND và DBM có và .

Suy ra ΔBND∽ΔDBMc.g.c

Mà nên .

Câu 2:  Cho ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 4cm. Trên AB lấy điểm E sao cho  AE = 2cm, trên AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm.

1. a) Chứng minh: .
2. b) Chứng minh: △ADE∽△ABC
3. c) Tính độ dài đoạn DE.

Giải

1. a)
2. b)
3. c) ΔABC∽ΔADE⇒ABAD=BCDE=3⇒DE=13BC=43(cm)

Câu 3:  Cho ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 6cm. Trên AB lấy điểm E sao cho  AE = 2cm, trên AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm.

1. a) Chứng minh: .
2. b) Chứng minh: △ADE∽△ABC
3. c) Tính độ dài đoạn DE.

Giải:

1. a)
2. b) {ABAD=ACAE BAC=DAE ⇒ΔABC∽ΔADE (c.g.c)
3. c) ΔABC∽ΔADE⇒ABAD=BCDE=3⇒DE=13BC=2(cm)

Câu 4: Cho ABC, biết AB = 7,5cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Trên AB, AC theo thứ tự lấy điểm M và N sao cho AN = 3cm, AM = 2,5cm.

1. a) Chứng minh:
2. b) Tính độ dài đoạn MN.

Giải

1. a) 

(c.g.c)

1. b) ΔABC∽ΔAMN⇒ABAM=BCMN=3⇒MN=13BC=4(cm)

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu) 

Câu 1:  Cho tam giác ABC có ; ; . Chứng minh rằng: .

Giải

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho  

⇒  ⇒ nên cân tại C, do vậy (1)

và có chung và

Suy ra ΔABD∽ΔCBA (c.g.c) ⇒(2)

Từ (1) và (2) ta có :

Do đó .

Câu 2:  Cho cân tại A. Lấy M tùy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N ∈ AC), kẻ MP song song với AC ( với P ∈ AB). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng  minh rằng .

Giải

Giả sử . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là giao điểm CP và MN.

Vì   là hình bình hành nên (1) 

Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra cân tại P và cân tại N.

Do đó và kết hợp với , suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c) ⇒ hay . Điều phải chứng minh.