CHƯƠNG 8: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. HÌNH ĐỒNG DẠNG

BÀI 8: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ 3 CỦA TAM GIÁC

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:

1. a) ΔABD∽ΔECD; b) cân tại C.

Giải

1. a) Do nên . Chứng minh được
2. b) Chứng minh được nên cân tại C.

Câu 2:  Cho hình thang ABCD có AB//CD, , DB = 6cm và . Tính độ dài CD.

Giải

Xét ΔABD và ΔBDC: 

; (so le trong)

⇒ (g – g)

⇒

Câu 3: 

Cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của CD

Chứng minh hai tam giác ADF và CBE đồng dạng với nhau.

Giải:

AECF là hình bình hành (Vì có AE , FC song song và bằng nhau), suy ra: AF // EC .

Khi đó, ta có:

AFD=ECF (hai góc đồng vị)

CEB=ECF (hai góc so le trong)

Từ đó: AFD=CEB

Xét ADF và CBE , ta có:

B=D=90°

AFD=CEB

Do vậy:ADF∽CBE (g.g)

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB= 15cm ; AC= 20cm . Kẻ đường cao AH .

1. Chứng minh : ABC ∽HBA từ đó suy ra: AB2 = BC . BH 
2. Tính BH và CH .

Giải

1. Xét ABC và HBA , ta có:

A=H=90°

B chung

Do đó: ABC∽HBA (g.g)

ABHB=BCBA

⇒ AB.BA = HB. BC hay AB 2 =BC . BH

1. b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC :

AB2+ AC2 = BC2

152+ 202 = BC2

⇒ BC = 25cm .

Theo a, ta có: ABHB=BCBA hay 15HB=2515

HB=15.1525= 9 cm.

CH= BC – HB= 25 – 9 = 16cm.

Vậy HB = 9 cm, CH = 16 cm

Câu 5: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Biết AB  3cm; AD  2, 5cm; BD  6cm và

1. Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
2. Tính độ dài các cạnh BC và CD

Giải 

1. Xét ADB và BCD có:

ABD=BDC (hai góc so le trong)

DBC=DAB  

Do đó: ADB∽BCD (g.g)

1. b) Vì ADB∽BCD (g.g) nên ADBC=ABBD=DBCD

Hay 2,5BC=36=6CD

⇒BC=5cm, CD=12cm 

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1:  Cho ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

1. a) Chứng minh: ABK ∽ Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.
2. b) Chứng minh: ΔABK∽ΔCAK
3. c) Chứng minh: ΔCAK∽ΔCBA

Giải 

1. a) Chứng minh: ABK ∽ Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.ΔABK,CBA:{ABK=CBA(=900-BAK) AKB=CAB(=900) ⇒ΔABK∽ΔCBA

ΔABC vuông tại A:

1. b) ΔABK,CAK:{ABK=KAC(=900-BAK) AKB=CKA(=900) ⇒ΔABK∽ΔCAK
2. c) {ΔABK∽ΔCAK ΔABK∽ΔCBA ⇒ΔCAK∽ΔCBA (cách khác  g-g)

Câu 2:  Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
2. b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh

Giải  

1. a) {AOB=COD OAB=OCD(AB//CD) ⇒ΔOAB∽ΔOCD⇒OAOC=OBOD

đpcm

1. b) {AHO=CKO(=900) OAH=OCKAB//CD ⇒ΔOAH∽ΔOCK⇒OAOC=OHOK

Mà ΔOAB∽ΔOCD⇒OAOC=ABCD nên

Câu 3: 

Cho hình bên, ABCD là hình thang ( AB//CD ) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DAB=DBC Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Giải 

Xét Δ ABD và Δ BDC có:

{BAD=DBC ABD=BDC ABD∽BDCg.g  

⇒ ABBD=ADBC=BDDC

hay 12,5x=x28,5x2=14254⇔ x ≈ 18,87

Câu 4: 

Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi AD là tia phân giác của góc BAC=DBC, tia AD cắt MN tại P. Hỏi tam giác nào đồng dạng với tam giác ANP

Giải:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Xét tam giác ABD có MP// BD (vì MN// BC)

Suy ra: Tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABD.

Câu 5: Cho tam giác vuông ABC (A=90°) có AB=9cm , AC=12cm. Dựng AD vuông  góc  với BC (D ϵ BC). Tia phân giác góc B cắt AC tại E

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng AD DB và DC
2. Tính diện tích các tam giác ABD và ACD

Giải: 

1. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC

AB2+AC2=BC2

⇒ 92+122=BC2

⇒BC=15cm

Xét ABC và DAC có

ABC=DAC (cùng phụ với C)

C chung

Do đó: ABC∽DAC g.gABAD=ACDC=BCAC

Hay 9AD=12DC=1512 hay9AD=12DC=54

⇒AD=7,2cm;DC=9,6cm;DB=5,4cm

12. b) Tính diện tích các tam giác ABD là: 12.BD.AD=12.5,4.7,2=19,44cm2

Tính diện tích các tam giác ACD là: 12.DC>AD=12.9,6.7,2=34,56cm2

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

1. a) Chứng minh: và
2. b) Chứng minh: .

Giải 

1. a)
2. b)

Từ các kết quả trên suy ra đpcm:

Câu 2:  Cho có 3 góc nhọn, các đường cao cắt nhau ở . Chứng minh:

1. a)
2. b)  và suy ra các hệ thức tương tự
3. c) ABH∽EDHvà suy ra các kết quả tương tự
4. d) và
5. e) và suy ra các kết quả tương tự.
6. f) Điểm H cách đều 3 cạnh của

Giải 

1. a) Vì là đường cao của

Xét và có:  (1)

Xét và có:   

và (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

1. b) Xét và có: 
2. c) Xét và có:  AEH=BDH=90° AHE=BHD() }AHE∽BDH(g-g)

Xét và   có:  AHBH=EHDH(cmt) AHB=EHD()  }AHB∽EDH(c-g-c)

Tương tự ta có:  

1. d) Vì

Xét và có:  FAAE=ACAB(cmt) A(chung) }⇒ΔAEF∽ΔABC(c-g-c) 

Chứng minh tương tự ta có ΔBDF∽ΔBAC ΔBAC∽ΔEDC }⇒ΔBDF∽ΔEDC (t/c..)

1. e) Vì BDF∽BACBDF=BAC (cùng phụ với)

Xét và có:  ABH=ADF A(chung) }⇒ΔAHB∽ΔAFD(g-g) 

Tương tự ta có:  

1. f) 

là tia phân giác (3)

Lại có: (cùng phụ với)

Mà:  

là tia phân giác (4)

Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED

Câu 3:  Cho tam giác ABC có , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tính độ dài cạnh BC?

Giải

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. 

Xét ∆ABC và ∆ADB có chung, suy ra ∆ABC ∆ADB (g.g)

⇒ CD = 6 (cm).

∆ABC có BD là đường phân giác nên . 

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: 

Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho ,DM AB=
trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN AD= . Chứng minh:

1. CNB và MDC cân
2. CNB ∽ MDC
3. Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Giải

1. Xét CNB có: BN = AD (gt), mà AD = BC nên BN = BC .
   ⇒ Δ CNB cân tại B
   Xét MDC có: DM = AB (gt), mà AB = DC nên DM = DC.
   ⇒ Δ MDC cân tại D
   b.Vì CNB cân tại B nên BCN=BNC=180 °-B2
   Vì MDCΔ cân tại D nên DCM=DMC=180°-D2
   Mà B= D (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên BCN=BNC=DCM= DMC
   Xét CNB và MDC có:
   DCM=BNC (cùng bù với hai góc bằng nhau CBA và BCD )
   CMD= NCB (cmt)
   Do đó: CNB ∽MDC (g.g).
   c.Ta có: CMD= NCB (hai góc đồng vị)
   DCM=BNC (hai góc đồng vị)

BCD= CDM (hai góc so le trong)
Mà DCM+ CDM+ DMC =180 ° (Định lí tổng ba góc trong một tam giác).
Nên NCM+ NCB+ BCD+ DCM= 180 °
Do đó M, C, N thẳng hàng.

Câu 2: 

Cho tam giác ABC (AB≤ BC) có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các
đường cao BE, CF cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho CDx= BAC
(tia Dx và A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh:
a. ABE ∽ ACF. Từ đó suy ra: AE. AC = AF. AB
b. ABC ∽DKC
c. DK = DB

Giải: 

1. a) Xét ABE và ACF có:

E=F=90 ° A

 góc chung
Do đó: ABE ∽ACF (g.g) AEAF=ABAC
Hay AE. AC = AF. AB
b. Xét ABC và DKC có:
BAC=CDx (gt)

C góc chung
Do đó: ABC ∽DKC: (g.g)
c. Theo b. và tính chất đường phân giác ta có: DBDC=DEDC vì cùng bằng ABAC.

⇒ DK = DB