Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 8: Tam giác đồng dạng. Hình đồng dạng (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 8. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, HÌNH ĐỒNG DẠNG (PHẦN 2)

Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Khi đó tam giác AMN đồng dạng với tam giác nào ?

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // B C

Do đó, tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC ( định lí)

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD chia tứ giác đó thành hai tam giác đồng dạng ΔABD và ΔBDC. Tứ giác ABCD là hình gì?

Trả lời:

Vì ΔABD ⁓ ΔBDC (gt) nên góc ABD = góc BDC (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD suy ra ABCD là hình thang (dấu hiệu nhận biết)

Bài 3: Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi AD là tia phân giác của góc BAC= DBC, tia AD cắt MN tại P. Hỏi tam giác nào đồng dạng với tam giác ANP

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Xét tam giác ABD có MP// BD (vì MN// BC)

Suy ra: Tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABD.

Bài 4: Hãy tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

1. a) AB = 6cm; CD = 8 cm
2. b) AB = 1.2 m; CD = 42 cm

Trả lời:

1. a) Ta có:

1. b) CD = 42 cm = 0.42 m

Bài 5: So sánh tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD với tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN trong hình sau

Trả lời:

Ta có: 

Suy ra 

Bài 6: Hình thang ABCD (AB// CD) có AB = 2cm; BD= 4 cm; CD = 8cm. Chứng minh rằng 

Trả lời:

Xét và  ta có:

Vậy  (c.g.c)

Bài 7: Cho  D ABC có  ,  AB = 8cm; BC =10cm

1. a) Tính  AC
2. b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao 

nhiêu?

Trả lời:

1. a) Vẽ tia phân giác BE của 

Þ D ABE  D ACB (c – g - c) 

Þ AC = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144

Þ AC = 12 cm

1. b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c

Thì từ câu a ta có b²  = a(a + c) (1).   Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)²= a²  + ac Û 2a + 1 = ac  Û a(c – 2) = 1

Þa = 1; b = 2; c = 3 (loại) 

+ Nếu b = a + 2 thì  a(c – 4) = 4 

- Với a = 1 thì c = 8 (loại) 

- Với a = 2 thì c = 6 (loại) 

- Với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 

Vậy a = 4; b = 5; c = 6

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của CD, Chứng minh hai tam giác ADF và CBE đồng dạng với nhau.

Trả lời:

AECF là hình bình hành (Vì có AE , FC song song và bằng nhau), suy ra: AF // EC .

Khi đó, ta có:

 (hai góc đồng vị)

 (hai góc so le trong)

Từ đó:

Xét ADF và CBE , ta có:

Do vậy:ADF∽CBE (g.g)

Bài 9: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Biết AB  3cm; AD  2, 5cm; BD  6cm và

1. Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
2. Tính độ dài các cạnh BC và CD

Trả lời:

1. XétADB và BCD có:

 (hai góc so le trong)

Do đó: ADB∽BCD (g.g)

1. b) Vì ADB∽BCD (g.g) nên

Hay

Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
2. b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh

Trả lời:

1. a)

đpcm

1. b)

Mà  nên

Bài 11: Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁, Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂. Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Trả lời:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có

Điều đó chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k =

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = , k₂ =  ⇒ k₃ =  = . = k₁.k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁k₂

Bài 12: Cho 2 tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau. Biết chu vi tam giác ABC là 40cm; AB = 4cm; MN = 10cm . Tính chu vi tam giác MNP?

Trả lời:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP nên

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

Bài 13: Cho tam giác ABC có AB cm BC = 5,7 cm và CA = 6cm . Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC ở E . Tính các đoạn EB, EC

Trả lời:

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 Hay

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

1. a) Tính BC, DB, DC
2. b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD

Trả lời:

1. a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

 suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên  suy ra 

⇒

 (cm),

do đó 

 (cm)

1. b) Ta có:

⇒ (cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên:

Ta có:

  (cm)

Tam giác ADH vuông tại H nên:

Bài 15: Tam giác ABC có  góc A = 2 góc B, AB = 11cm, AC = 25cm. Tính độ dài cạnh BC.

Trả lời:

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A nên góc BAC = B₁ + D = 2D.

Ta lại có góc BAC = 2B₂ nên D = B₂.

Xét ΔCBA và ΔCDB có C chung và D = B₂.

Nên ΔCBA ~ ΔCDB (g-g) nên 

Từ đó BC² = 25.36 suy ra BC = 5.6 = 30(cm)

Bài 16: Cho ΔABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho góc DME = góc ABC. Tính BD.CE

Trả lời:

+ Ta có: góc DMC = góc DME + góc EMC

Mặt khác: góc DMC = góc ABC + góc BDM (góc ngoài tam giác)

Mà: góc DME = góc ABC (gt) nên BDM = EMC

+ Ta có: góc ABC = góc ACB (ΔABC cân tại A) và góc BDM = góc EMC (cmt)

⇒ ΔBDM ~ ΔCME (g - g)

⇒   ⇒ BD.CE = CM.BM

Lại có M là trung điểm của BC và BC = 2a ⇒ BM = MC = a

⇒ BD.CE = a² không đổi

Bài 17: Cho hình bên, ABCD là hình thang ( AB//CD ) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm;  Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét Δ ABD và Δ BDC có:

⇒ 

hay 

Bài 18: Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi AD là tia phân giác của góc , tia AD cắt MN tại P. Hỏi tam giác nào đồng dạng với tam giác ANP

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Xét tam giác ABD có MP// BD (vì MN// BC)

Suy ra: Tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABD.

Bài 19: Cho tam giác vuông ABC (Dựng AD vuông  góc  với BC (DTia phân giác góc B cắt AC tại E

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng AD DB và DC
2. Tính diện tích các tam giác ABD và ACD

Trả lời:

1. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC

Xét ABC và DAC có

 (cùng phụ với

Do đó:

Hay

1. b) Tính diện tích các tam giác ABD là:

Tính diện tích các tam giác ACD là:

Bài 20: Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh

Trả lời:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m. Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

Þ 

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.

Þ và  

Thay vào (1) ta được ĐPCM.