Đáp án Toán 12 kết nối tri thức Bài 14: Phương trình mặt phẳng

BÀI 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. VECTO PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật một phản lực pháp tuyến , giá của vecto vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)

Hướng dẫn chi tiết:

Giá của vectơ vuông góc với mặt bàn nên nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì giá của vectơ có phương thẳng đứng.

Luyện tập 1: Trong không gian , cho các điểm , . Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: .

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nên .

Vậy vecto là một vectơ pháp tuyến của .

Hoạt động 2: Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Trong không gian , cho hai vecto và .

a) Vecto có vuông góc với cả hai vecto và hay không?

b) khi và chỉ khi và có mối quan hệ gì?

Hướng dẫn chi tiết:

a) Ta có: 

nên .

Lại có: 

nên .

b) nên: 

(*)

Vậy khi và chỉ khi và song song với nhau.

Luyện tập 2: Trong không gian , cho và . Tính .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: .

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian , cho hai vecto không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng .

a) Vecto có khác vecto không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của hay không?

b) Mặt phẳng có nhận làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Hướng dẫn chi tiết:

a) Hai vecto không cùng phương nên vecto . Vì vecto là tích có hướng của hai vectơ nên giá của nó vuông góc với cả hai giá của .

b) Hai vecto có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng mà giá của vectơ vuông góc với cả hai giá của nên vecto . Vậy vecto là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Luyện tập 3: Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng , , . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

. 

Do đó là cặp vectơ chỉ phương và là một vectơ pháp tuyến của .

Vận dụng 1: Moment lực là một đại lượng Vật lý, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian , với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí một lực để vặn con ốc ở vị trí (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức 

.

a) Cho . Tính .

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Hướng dẫn chi tiết:

a) .