Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 14: Phương trình mặt phẳng (P2)

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một vật thể chuyển động trong không gian . Tại mỗi thời điểm , vật thể ở vị trí . Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1

Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

NỘI DUNG BÀI HỌC

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

3

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

4

Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

5

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

6

4

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

• HĐ8: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Giải:

a) Vì lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt pháng và ( ) nên giá của lần lượt vuông góc với mặt phắng () và .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của .

b) Hai mặt phắng và vuông góc với nhau khi và chí khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng vuông góc với nhau.

KẾT LUẬN

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

với hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

Khi đó:

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

Giải

Ví dụ 9: Trong không gian , chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau:

Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến tương ứng là , .

Ta có nên . Do đó, vuông góc với .

Luyện tập 9

Trong không gian , hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

Giải

Hai mặt phắng có vectơ pháp tuyến lần lượt là Ta có

Do đó hai mặt phẳng ( không vuông góc với nhau.

Ví dụ 10: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng .

Giải

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với nên có cặp vectơ chỉ phương là và . Do đó có vectơ pháp tuyến là: .

Ví dụ 10: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng .

Giải

Mặt phẳng đi qua có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Vận dụng 3

Trong không gian , sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh , , , . Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Giải

Sàn của căn phòng hình tứ giác như hình.

a) Ta có

Sàn nhà nằm trong mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là .

Suy ra mặt phẳng .

+) Mặt phẳng bức tường (P) chứa 2 điểm chính là mặt phẳng : .

+) Mặt phẳng bức tường chứa 2 điếm chính là mặt phắng : .

Giải

+) Mặt phẳng bức tường (R ) chứa 2 điếm có vectơ pháp tuyến là có phương trình là: hay . +) Mặt phẳng bức tường chứa 2 điếm có vectơ pháp tuyến

có phương trình là:

hay

Giải

b) Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .

5

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU

• HĐ9: Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Giải:

Hai mặt phẩng và song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến cùng phương. Tức là

+) Nếu ' thì ta có mặt phẳng và trùng nhau. +) Nếu thì ta có mặt phắng và song song. Vậy suy ra:

KẾT LUẬN

Trong không gian , cho hai mặt phẳng

với hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

Khi đó:

Chú ý:

• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng () và () trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số khác 0 sao cho

Ví dụ 11: Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

và

Hỏi và có song song với nhau hay không?

Giải

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là , .

Do và nên hai mặt phẳng và song song với nhau.

Luyện tập 7

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

và

a) Hỏi và có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm không thuộc mặt phẳng nhưng thuộc mặt phẳng .

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với .

Giải:

a) Ta có không cùng phương nên (a) và không song song với nhau.

b) Ta có .

Do đó điểm không thuộc mặt phẳng .

Ta có . Do đó điếm thuộc mặt phång .

Giải:

c) Vì (P) // nên mặt phăng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng có phương trình là:

hay .

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh. Trong không gian , người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

Vận dụng 4

a) Chứng minh rằng các điểm biểu siễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình .

Vận dụng 4

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Vận dụng 4

Giải

a) Gọi mỗi thí xinh có điểm thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh với tổng điểm 27 tương ứng là: với .

Mỗi thí sinh đó có điểm biểu diễn tương ứng là có toạ độ thoả mãn phương trình

Do đó các điểm biểu diễn các thí sinh có tổng điểm bằng 27 đều cùng thuộc mặt phẳng có phương trình

Giải

b) Tương tự câu a, các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng m thì đều có điểm biểu diễn kết quả cùng thuộc mặt phẳng .

Các các mặt phẳng như vậy cùng nhận VTPT là (1;1;1).

Vì vậy ứng với các giá trị khác nhau, các mặt phẳng song song với nhau.

6

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM

ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

• HĐ10: Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

a) Giải thích vì sao tồn tại số để . Tính tọa độ của theo , tọa độ của và các hệ số .

b) Thay tọa độ của vào phương trình mặt phẳng để từ đó tính theo tọa độ của và các hệ số .

c) Từ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng theo tọa độ của và các hệ số . Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Giải:

a)

+) Vì là hình chiếu vuông góc của trên () nên

Do đó sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến .

Vậy tồn tại một số k sao cho .

+) Giả sử .

Suy ra

vì nên

Giải:

b) Thay tọa độ điểm vào , ta được

(

Giải:

c) Ta co

Mà

Suy ra

Do đó khoáng cách từ điếm đến mặt phẳng là

KẾT LUẬN

Trong không gian khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Ví dụ 12: Trong không gian , tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Giải:

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Luyện tập 11

Trong không gian , cho hai mặt phẳng và .

a) Chứng minh rằng và song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc , tính khoảng cách từ điểm đó đến . Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Giải

a) Ta có vì và .

Do đó và song song với nhau.

Luyện tập 11

Trong không gian , cho hai mặt phẳng và .

a) Chứng minh rằng và song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc , tính khoảng cách từ điểm đó đến . Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Giải

b) Lấy điểm .

Khi đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là: Do đó

Vận dụng 5

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là . Trong không gian , camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có bán kình bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Ta có

Giải

Giải

Gọi A là chân đường vuông góc kẻ từ C đến (P) như hình vẽ

Vì tam giác CAB vuông tại A, có Suy ra

.

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4 đơn vị độ dài.

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------