Giáo án Toán 12 kết nối Bài 14: Phương trình mặt phẳng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS trả lời HĐ 1.

- GV giới thiệu về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- GV đặt câu hỏi:

+ Qua một điểm xác định được bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Từ đó dẫn dắt đến chú ý 1.

+ Một mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

Những vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương như thế nào với nhau?

chú ý 2.

- HS đọc Ví dụ 1: nhận biết vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- HS làm Luyện tập 1.

Yêu cầu HS nhắc lại khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

- HS thảo luận nhóm suy nghĩ làm HĐ 2. GV gợi ý:

+ Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hưởng của chúng bằng bao nhiêu?

+ Công thức tính tích vô hướng giữa hai vectơ theo toạ độ của chúng là gì?

+ Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi toạ độ của chúng có mối quan hệ gì?

- GV giới thiệu khái niệm tích có hướng của hai vectơ.

- Lưu ý: .

- GV nêu vấn đề dẫn đến chú ý:

+ Từ kết quả của HĐ 2, thì hai vectơ có mối quan hệ gì?

+ Giới thiệu về kí hiệu.

- HS quan sát ví dụ 2, thực hiện luyện tập 2.

Áp dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ.

- HS thực hiện HĐ 3:

Ở phần b, GV có thể lưu ý HS rằng: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì trong mặt phẳng tồn tại đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Từ đó có thể thấy rằng giá của vuông góc với hai đường thẳng không cùng phương trong mặt phẳng (P).

- GV giới thiệu khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 3, làm Luyện tâp 3.

Xác định cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng, từ đó tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- HS suy nghĩ làm Vận dụng 1.

b) Tính rồi so sánh.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

HĐ 1:

Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

Kết luận

Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với ().

Chú ý:

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

• Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của

Ví dụ 1 (SGK -tr.30)

Luyện tập 1

Vì là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của vuông góc với
Do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

HĐ 2:

a) 

Do đó vectơ vuông góc với vectơ .

+) Ta có 

.

Do đó vectơ vuông góc với vectơ .

Suy ra vectơ vuông góc với cả 2 vectơ và .

b) 

*) Nếu

Nếu thì

+) Nếu thì  và cùng phương với nhau.

+) Nếu thì

Từ (I) suy ra

Do đó và cùng phương với nhau.

(Tương tự với các TH và )
+) Nếu thì

Từ (I) suy ra

Khi đó

Suy ra .

Do đó và cùng phương với nhau.

(Tương tự với các TH hai trong ba số
có giá trị bằng 0).

+) Nếu thì (I) ta suy ra

Suy ra . Do đó và cùng phương với nhau.

*) Nếu và cùng phương.

Nếu và cùng phương thì

Khi đó và

Do đó .
Vậy khi và chỉ khi và cùng phương.

Kết luận

Trong không gian , cho hai vectơ và .

Khi đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và , được gọi là tích có hướng của và kí hiệu là .

Chú ý:

• khi và chỉ khi cùng phương.
•  Với bốn số ta khí hiệu . Khi đó tích có hướng của và là

Ví dụ 2 (SGK -tr.31)

Luyện tâp 2

Ta có

 
HĐ 3:

a) 

Theo HĐ 2: không cùng phương thì vectơ có khác vectơ-không.

+ Giá của vectơ có vuông góc với cả hai giá của .

b) Hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng mà có giá vuông góc với cả hai giá của nên giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng . 

Suy ra mặt phằng nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến.

Kết luận

+ Trong không gian , hai vectơ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng .
+ Nếu là cặp vectơ chỉ phương của () thì là một vectơ pháp tuyến của .

Ví dụ 3 (SGK -tr.31)

Luyện tập 3

Ta có và   là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

Vận dụng 1

a)

b) Nếu thì

Vậy giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Từ kết quả trên, nếu vị trí đặt lực P càng xa vị trí ốc O thì moment lực càng lớn và ta càng đỡ tốn sức khi vặn ốc.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 4:

a) Nếu điểm M thuộc thì vectơ và có mối quan hệ gì?

b) Nếu mà thì M phải thuộc vào mặt phẳng nào?

Biến đổi theo tọa độ vectơ để có hệ thức cần tìm.

- GV giới thiệu về phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Chú ý:

Trong phương trình tổng quát của mặt phẳng, các hệ số không đồng thời bằng 0.

+ Một điểm thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình mặt phẳng.

+ Khi có phương trình mặt phẳng có thể xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- HS tìm hiểu ví dụ 4, làm Luyện tập 4.

+ Luyện tập 4

Phương trình có dạng

- HS tìm hiểu ví dụ 5, làm Luyện tập 5.

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Nhận biết điểm thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng.

- GV cho HS làm phiếu học tập: thực hiện lần lượt các HĐ 5, 6, 7.

- Sau khi làm HĐ 5. GV cho HS tổng quát cách lập phương trình.

Tương tự với các HĐ 6, 7.

- HS thực hiện các ví dụ 6, 7, 8 và luyện tập tương ứng, cho HS kiểm tra chéo kết quả các luyện tập 6, 7, 8.

- Luyện tập 8: GV giới thiệu phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

.................

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

HĐ 4:

a)

b)

+) Theo a:

Ta có
Ta có
Suy ra

 .

+) Xét:

(trong đó )

Vậy điểm thuộc  khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức 

trong đó

Kết luận

Trong không gian, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Chú ý:

Trong không gian , mỗi phương trình (các hệ số , không đồng thời bằng 0 xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 4 (SGK -tr.32)

Luyện tập 4

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

b)  

Ví dụ 5 (SGK -tr.32)

Luyện tập 5

a) Do nên điểm thuộc .
b) Mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐ 5:

Theo HĐ 4: phương trình của là:

hay, trong đó .

Kết luận:

Trong không gian , nếu mặt phẳng () đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến thì có phương trình là:

Ví dụ 6 (SGK -tr.33)

Luyện tập 6

Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với trục nên nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Do đó phương trình mặt phẳng là: .

HĐ 6:

 là một vectơ pháp tuyến của
b) Phương trình mặt phẳng :

 
.

Kết luận

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trì̀nh tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết vectơ pháp tuyến 
  
   

Ví dụ 7 (SGK -tr.33)

Luyện tập 7 

Vì mặt phẳng song song với trục và đường thẳng BC nên nhận và làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là:

HĐ 7:

a) Mặt phằngnhận và làm cặp vectơ chỉ phương.

b) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng :

hay .
Kết luận

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương .
• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến .

Ví dụ 8 (SGK -tr.34)

Luyện tập 8

.................