Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 14: Phương trình mặt phẳng

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một vật thể chuyển động trong không gian . Tại mỗi thời điểm , vật thể ở vị trí . Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1

Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

NỘI DUNG BÀI HỌC

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

3

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

4

Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

5

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

6

1

VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

Giải:

• HĐ1: Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì  có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

KẾT LUẬN

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với ().

Chú ý.

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
• Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của

Ví dụ 1: Cho hình lập phương (H.5.3).

Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?

a) và đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải

Vì các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên và đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải

Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng và nên vuông góc với mặt phẳng . Vậy là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng nên vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Luyện tập 1

Trong không gian , cho các điểm , . Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .

Giải

Vì là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của vuông góc với Do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

• HĐ2: Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Giải:

a) +) Ta có . Do đó vectơ vuông góc với vectơ .

+) Ta có .

Do đó vectơ vuông góc với vectơ .

Suy ra vectơ vuông góc với cả 2 vectơ và .

Giải:

b) *) Nếu

Nếu thì

+) Nếu thì và cùng phương với nhau.

+) Nếu thì

Từ (I) suy ra

Do đó và cùng phương với nhau.

(Tương tự với các TH và )

Giải:

+) Nếu thì

Từ (I) suy ra

Khi đó

Suy ra .

Do đó và cùng phương với nhau.

(Tương tự với các TH hai trong ba số có giá trị bằng 0).

Giải:

+) Nếu thì (I) ta suy ra

Suy ra . Do đó và cùng phương với nhau.

Giải:

*) Nếu và cùng phương.

Nếu và cùng phương thì

Khi đó và

Do đó . Vậy khi và chỉ khi và cùng phương.

KẾT LUẬN

Trong không gian , cho hai vectơ và .

Khi đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và , được gọi là tích có hướng của và kí hiệu là .

Chú ý:

• khi và chỉ khi cùng phương.
• Với bốn số ta khí hiệu . Khi đó tích có hướng của và là

Ví dụ 2:

Trong không gian , cho và . Tính .

Giải

Ta có

Luyện tập 2

Trong không gian , cho và . Tính .

Giải:

Ta có

• HĐ3: Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Giải:

a) Theo HĐ 2: không cùng phương thì vectơ có khác vectơ-không.

+ Giá của vectơ có vuông góc với cả hai giá của .

b) Hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng mà có giá vuông góc với cả hai giá của nên giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng .

Suy ra mặt phằng nhận vectơ làm một vectơ pháp tuyến.

KẾT LUẬN

+ Trong không gian , hai vectơ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng .

+ Nếu là cặp vectơ chỉ phương của () thì là một vectơ pháp tuyến của .

Ví dụ 3: Trong không gian , cho các vectơ , . Gọi là một mặt phẳng song song với các giá của . Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của .

Giải:

Ta có .

Do đó là cặp vectơ chỉ phương và là một vectơ pháp tuyến của .

Luyện tập 3

Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng , , . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải

Ta có và là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

Vận dụng 1

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian , với đơn vị đo độ dài là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí một lực để vặn con ốc ở vị trí (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức .

Vận dụng 1

a) Cho . Tính .

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Giải

a)

b) Nếu thì

Vậy giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Từ kết quả trên, nếu vị trí đặt lực P càng xa vị trí ốc O thì moment lực càng lớn và ta càng đỡ tốn sức khi vặn ốc.

2

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

• HĐ4: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Giải:

a)

b)

+) Theo a:

Ta có Ta có Suy ra .

Giải:

+) Xét:

(trong đó )

Vậy điểm thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức

trong đó

KẾT LUẬN

Trong không gian, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Chú ý.

Trong không gian , mỗi phương trình (các hệ số , không đồng thời bằng 0 xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 4: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) b) c)

Giải

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình có dạng và thỏa mãn không đồng thời bằng . Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình là phương trình mặt phẳng.

Luyện tập 4

Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) b) c)

Giải

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

b)

Ví dụ 5: Trong không gian , cho mặt phẳng .

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của .

b) Vectơ có là vectơ pháp tuyến của hay không?

c) Trong hai điểm , , điểm nào thuộc mặt phẳng ?

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------