Giáo án NLS Toán 10 kết nối Bài 22: Ba đường conic

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai cách vẽ hình, có thể trình chiếu cách vẽ hình trên một số phần mềm cho sinh động.

- GV nhấn mạnh: Độ dài đường gấp khúc bằng với độ dài của sợi dây, từ đó cho HS trả lời câu b).

- Tập hợp các điểm M trong bài được gọi là đường elip.

- GV đưa ra định nghĩa về đường elip.

- GV gợi ý cho HS so sánh độ dài sợi dây với tiêu cự.

- GV có thể phân tích thêm để HS thấy được quỹ tích điểm M trong hai trường hợp và .

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 1:

+ Em hãy nhắc lại định nghĩa đường elip?

+ GV lưu ý cho HS đến điều kiện tổng khoảng cách từ điểm B, C, E, F đến hai điểm A và D bằng nhau và đồng thời phải lớn hơn AD (điều kiện của elip: )

- GV cho HS đọc nội dung Luyện tập 1 và trả lời các câu hỏi:

+ Em hãy xác định quãng đường đi của viên bi?

+ Theo em, quãng đường này có gì đặc biệt?

- GV nhấn mạnh: quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng tổng khoảng cách từ điểm bị cham vào thành bàn tới hau tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này không đổi (luôn bằng 2a)

- GV hướng dẫn HS thực hiện HĐ2:

+ Ta có , và O là trung điểm của , khi đó toạ độ của của là?

+ Chúng ta cần chứng minh hai chiều của khẳng định trên. Em hãy viết công thức tính ? Em thấy có điều gì đặc biệt? 

+ Nếu đặt em hãy biến đổi biểu thức (1) theo và .

- GV rút ra chú ý về cách biến đổi của biểu thức (1).

- Từ chú ý trên, GV nêu định nghĩa về phương trình chính tắc của elip.

- HS dựa vào định nghĩa để làm Ví dụ 2.

- Tương tự như Ví dụ 2, HS tự làm Luyện tập 2 vào vở.

- GV gọi HS lên bảng trình bày. Cả lớp nhận xét và GV kết luận.

- GV yêu cầu: Sau khi tính xong Luyện tập 2 ra vở, các em hãy mở ứng dụng GeoGebra, nhập phương trình để máy tính tự động vẽ đồ thị. Quan sát và dùng công cụ đo khoảng cách của phần mềm để kiểm chứng xem khoảng cách giữa 2 tiêu điểm có đúng bằng không.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Vận dụng 1:

+ Với mỗi điểm trên elip, toạ độ của nó phải thoả mãn điều kiện gì?

+ Chiều cao h trên thực tế sẽ gấp bao nhiêu lần so với chiều cao trên bản vẽ? (30 lần)

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Elip

HĐ1.

a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.

b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂ không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định và phân biệt . Đặt . Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là tiêu cự của elip đó.

Thách thức nhỏ: Xét tam giác có: (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Ví dụ 1 (SGK – tr.49)

Luyện tập 1

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là và . Bi lăn từ đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến  . Vậy quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

Suy ra độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

HĐ2. 

a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm: và

b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh:  

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên: hay

Giả sử ta chứng minh M thuộc elip (E). Thật vậy:

  nên

⇒ M thuộc elip (E).

Chú ý: Người ta có thể biến đổi (1) về dạng , với

Kết luận: 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

, với

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2)  đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm , , tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ 2 (SGK – tr.50)

Luyện tập 2

Có: . Vậy elip có hai tiêu điểm là và  và tiệu cự là .

Vận dụng 1

Ta có 75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5 tọa độ

Mà M thuộc (E) nên:

 nên

Vậy chiều cao của ô thoáng là: 

.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV hướng dẫn HS thực hiện HĐ4:

+ Ta có , và O là trung điểm của , khi đó toạ độ của của là?

+ Chúng ta cần chứng minh hai chiều của khẳng định trên. Em hãy viết công thức tính ? Em thấy có điều gì đặc biệt? 

+ Nếu đặt em hãy biến đổi biểu thức (1) theo và .

- GV rút ra chú ý về cách biến đổi của biểu thức (3).

- Từ chú ý trên, GV nêu định nghĩa về phương trình chính tắc của hypebol.

- Từ chú ý trên, GV nêu định nghĩa về phương trình chính tắc của hypebol.

- GV có thể nhấn mạng cho HS biết về sự so sánh giữa với , ta có .

- GV hướng dẫn HS tìm các hệ số ở Ví dụ 4. Từ đó xác định được rồi kết luận toạ độ tiêu điểm, tìm tiêu cự và sử dụng định nghĩa để tìm hiệu khoảng cách.

- Tương tự như Ví dụ 4, HS làm Luyện tập 4 vào vở.

- GV gọi HS lên bảng trình bày, cả lớp nhận xét.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Hypebol

HĐ4.

a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm: và

b) Giả sử M thuộc hypebol (H) ta chứng minh:  

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên:

Giả sử ta chứng minh M thuộc hypebol (H). Thật vậy:

  nên

⇒ M thuộc hypebol (H).

Chú ý: Người ta có thể biến đổi (3) về dạng , với

Kết luận: 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

, với

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4)  đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm , , tiêu cự và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ 4 (SGK – tr.52)

Luyện tập 4

Có: . Vậy elip có hai tiêu điểm là và  và tiệu cự là .

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV hướng dẫn HS thực hiện HĐ6:

+ Dựa vào định nghĩa, em hãy xác định độ dài OF rồi suy ra toạ độ điểm F? 

+ Muốn viết phương trình đường thẳng Δ cần những yếu tố nào? (toạ độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến)

+ Tính và ? Điểm M thuộc (P) khi nào?

- GV dẫn dắt HS đưa ra chú ý bằng cách thực hiện hoạt động:

+ Em hãy bình phương 2 vế rồi rút gọn phương trình

- Từ HĐ6, GV dẫn dắt HS đưa ra định nghĩa về phương trình chính tắc của parabol.

- GV nhấn mạnh: Mối liên hệ hai chiều giữa đường parabol và phương trình của nó.

- HS đọc nội dung Ví dụ 5 SGK và trả lời câu hỏi:

+ Em hãy tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P).

+ Những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3 thoả mãn điều kiện gì? và

- GV hướng dẫn HS thực hiện Vận dụng 2:

+ HS rất có thể ngộ nhận đường chuẩn chính là bờ biển.

+ GV lưu ý HS quan sát hình vẽ gợi ý trong SGK (đường nét đứt song song và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính)

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Parabol

HĐ6.

a) Do là trung điểm , mà (tham số tiêu của ) nên tọa độ của là: .

Đường thẳng Δ đi qua và vuông góc với trục nên có phương trình:

b) Ta có:

+ Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh

Thật vậy: M thuộc

+ Giả sử

Ta chứng minh M thuộc (P). Thật vậy:

Vậy M thuộc (P).

Chú ý: Bình phương hai vế của phương trình trên rồi rút gọn, ta dễ dạng nhận được phương trình .

Định nghĩa: 

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên . Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình 

 (với )      

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p>0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm và đường chuẩn .

Ví dụ 5 (SGK – tr.53)

Vận dụng 2

Trong mô hình này, ta có:

( là bán kính đảo).

Gọi là đường bờ biển. Gọi là đường thẳng nằm tròn đất liền, song sng với d, cách d một khoảng . Ta có:

Vậy tập hợp các điểm thuộc đường parabol có tiêu điểm là , đường chuẩn là . Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P)

Câu 1. Đường Elip có 1 tiêu điểm là :

A. (3 ; 0)     

B. (0 ; 3)

C. ( ; 0)

D.

Câu 2. Cho Elip (E) : và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng : 

A. 3 và 5

B. 3,5 và 4, 5

C.

D.

Câu 3. Tâm sai của Elip bằng :

A. 0,2 

B. 0, 4

C.  

D. 4

Câu 4. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip

A.         

B.  

C. x + 2 = 0 

D. x + 8 = 0

Câu 5. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10

A.       

B.

C.

D.

Câu 6. Đường Hyperbol có tiêu cự bằng :

A. 1   

B. 2   

C. 3   

D. 6 

Câu 7. Cho điểm M nằm trên Hyperbol (H): . Nếu điểm M có hoành độ bằng 12 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là bao nhiêu ?

A. 8

B. 10 và 6

C.

D. 14 và 22

Câu 8.   …………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK

Bài 7.19.

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..