Giáo án toán 10 kết nối tri thức bài 22: Ba đường conic (4 tiết)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai cách vẽ hình, có thể trình chiếu cách vẽ hình trên một số phần mềm cho sinh động.

- GV nhấn mạnh: Độ dài đường gấp khúc  bằng với độ dài của sợi dây, từ đó cho HS trả lời câu b).

- Tập hợp các điểm M trong bài được gọi là đường elip.

- GV đưa ra định nghĩa về đường elip.

- GV gợi ý cho HS so sánh độ dài sợi dây với tiêu cự.

- GV có thể phân tích thêm để HS thấy được quỹ tích điểm M trong hai trường hợp  và .

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 1:

+ Em hãy nhắc lại định nghĩa đường elip?

+ GV lưu ý cho HS đến điều kiện tổng khoảng cách từ điểm B, C, E, F đến hai điểm A và D bằng nhau và đồng thời phải lớn hơn AD (điều kiện của elip: )

- GV cho HS đọc nội dung Luyện tập 1 và trả lời các câu hỏi:

+ Em hãy xác định quãng đường đi của viên bi?

+ Theo em, quãng đường này có gì đặc biệt?

- GV nhấn mạnh: quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng tổng khoảng cách từ điểm bị cham vào thành bàn tới hau tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này không đổi (luôn bằng 2a)

- GV hướng dẫn HS thực hiện HĐ2:

+ Ta có , và O là trung điểm của , khi đó toạ độ của của là?

+ Chúng ta cần chứng minh hai chiều của khẳng định trên. Em hãy viết công thức tính ? Em thấy có điều gì đặc biệt?

+ Nếu đặt  em hãy biến đổi biểu thức (1) theo  và .

- GV rút ra chú ý về cách biến đổi của biểu thức (1).

- Từ chú ý trên, GV nêu định nghĩa về phương trình chính tắc của elip.

- HS dựa vào định nghĩa để làm Ví dụ 2.

- Tương tự như Ví dụ 2, HS tự làm Luyện tập 2 vào vở.

- GV gọi HS lên bảng trình bày. Cả lớp nhận xét và GV kết luận.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Vận dụng 1:

+ Với mỗi điểm trên elip, toạ độ của nó phải thoả mãn điều kiện gì?

+ Chiều cao h trên thực tế sẽ gấp bao nhiêu lần so với chiều cao trên bản vẽ? (30 lần)

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Elip

HĐ1.

a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.

b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂ không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Định nghĩa:

Cho hai điểm cố định và phân biệt . Đặt . Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho  được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm  được gọi là hai tiêu điểm và  được gọi là tiêu cự của elip đó.

Thách thức nhỏ: Xét tam giác  có:  (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Ví dụ 1 (SGK – tr.49)

Luyện tập 1

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là  và . Bi lăn từ  đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến . Vậy quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

Suy ra độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

HĐ2.

a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm:  và

b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh:   

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên:  hay

Giả sử  ta chứng minh M thuộc elip (E). Thật vậy:

   nên

⇒ M thuộc elip (E).

Chú ý: Người ta có thể biến đổi (1) về dạng , với

Kết luận:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

, với

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2)  đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm , , tiêu cự  và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ 2 (SGK – tr.50)

Luyện tập 2

Có: . Vậy elip có hai tiêu điểm là  và   và tiệu cự là .

Vận dụng 1

Ta có 75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5  tọa độ

Mà M thuộc (E) nên:

  nên

Vậy chiều cao của ô thoáng là:

.