Giáo án NLS Toán 11 kết nối Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Nhiệm vụ 1: Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1. - GV có thể cho HS nhắc lại khái niệm góc giữa hai đường thẳng.

- GV hướng dẫn HS hình thành khái niệm góc giữa hai mặt phẳng.

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi nào?

+ Khoảng giá trị của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là bao nhiêu?

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK-tr.44).

- GV sử dụng phần mềm GeoGebra 3D, vẽ hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Lấy điểm I trên c, kẻ a(P), ac và b(Q), b c. GV dùng tính năng đo góc động của phần mềm, khi thay đổi độ nghiêng của mặt phẳng, số đo góc thay đổi theo để HS quan sát trực quan.

- GV hướng dẫn HS thực hiện vẽ hình, trình bày Ví dụ 1.

+ Lấy điểm

+ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng định nghĩa, tức là vẽ hai đường thẳng qua E lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Ta chỉ cần kẻ

+ Giải thích vì sao

+ Giải thích vì sao

- GV giới thiệu ở ví dụ 1, cho ta một cách xác định góc giữa hai mặt phẳng thường gặp.

Từ đó có Nhận xét.

- HS làm Luyện tập 1 theo nhóm đôi. 

+ Lưu ý: bài toán chứng minh hai chiều.

+ Xác định giao tuyến giữa (SAC) và (SBD).

+ Xác định mặt phẳng vuông góc với SO. Từ đó xác định góc giữa (SAC) và (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

HĐ 1: 

Vì và cùng vuông góc với nên chúng song song hoặc trùng nhau. 

Tương tự, và song song hoặc trùng nhau.

Vậy

Kết luận

Cho hai mặt phẳng  và Lấy các đường thẳng tương ứng vuông góc với  . Khi đó góc giữa và không phụ thuộc vào vị trí của và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng và (Q).

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Chú ý: Nếu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì .

Câu hỏi:

Xét hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng . 

Khi đó góc giữa  khi và chỉ khi , hay a và b song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ 1 (SGK -tr.45)

Nhận xét:

tại O; tại O 

Khi đó

Đặc biệt, khi và chỉ khi

Luyện tập 1

Gọi là giao điếm của và .

Vì và

((  

Do đó

là hình vuông.

Nhiệm vụ 2: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thực hiện HĐ 2.

Từ đó nếu  mà thì mối quan hệ của (P) và (Q) là gì?

- HS phát biểu định lí. GV giới thiệu đây là một điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

- Sử dụng điều kiện đó HS trình bày Ví dụ 2.

+ Xác định đường thẳng thuộc (OAB), (OAC) và vuông góc với (OBC).

- HS thưc hiện Luyện tập 2, vận dụng điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

HĐ 2:

a) Vì và nên .

Vậy .

b) Do và tương ứng vuông góc với và . 

Do đó,    

Kết luận

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2 (SGK -tr.45)

Luyện tập 2

Mặt phẳng cánh của chứa đường thẳng nối các bản lề. Mặt khác đường thẳng này vuông góc với sàn nhà. 

Do đó mặt phẳng cánh cửa vuông góc với sàn nhà.

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn

thành HĐ 5.

+ a) HS đưa ra nhận định của mình.

+ b) Theo a góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt chứa lưng ghế có bằng góc giữa hai đường thẳng nào, từ đó xác định số đo có thể nhận được.

- GV trình bày, giảng giải về khái niệm góc nhị diện, khái niệm góc phẳng nhị diện.

- GV đặt câu hỏi

+ Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị trong khoảng nào?

+ Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bao nhiêu góc nhị diện? 

- HS trình bày Ví dụ 4.

Nhận biết góc nhị diện, góc phẳng nhị diện và tính số đo của góc nhị diện.

- Tương tự, HS làm Luyện tập 4.

+ Xác định góc nhị diện [S,BC,A].

+ Tính số đo góc nhị diện trên.

- HS thảo luận nhóm đôi làm Vận dụng 1. GV hướng dẫn, gợi ý.

+ Gọi tâm của các nửa hình tròn.

+ Xác định giao tuyến của các mặt phẳng chứa khung cửa và mặt chứa cánh cửa.

+ Phát hiện và chứng minh tính chất của OI, OJ với giao tuyến trên.

+ Xác định góc nhị diện chứa khung và cánh cửa.

+ Tính góc phẳng nhị diện vừa tìm được ở trên. Chú ý mối quan hệ của IJ và d.

- GV giải thích khái niệm vĩ độ và kinh độ, vận dụng hiểu biết về số đo góc nhị diện, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- GV yêu cầu HS thảo luận cặp đôi và nêu nhiệm vụ: Sử dụng Chatbot AI (ChatGPT/Gemini) với câu lệnh: “Góc nhị diện (dihedral angle) có ứng dụng gì trong kĩ thuật hàng không, cơ khí hoặc hóa học? Hãy nêu một ví dụ ngắn gọn.”

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

- HS trả lời câu hỏi NLS: Góc nhị diện ứng dụng thiết kế cánh máy bay chữ V để tạo sự ổn định; hoặc góc giữa các liên kết hóa học trong phân tử.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

4. Góc nhị diện

HĐ 5:

a) Góc

b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa

Vì nên góc giữa hai đường thẳng tương úng chứa có thể nhận số đo từ đến . 

Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ đến .

Kết luận:

- Hình gồm hai nửa mặt phằng có chung bờ a được gọi là một góc nhi diện, kí hiệu là . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

- Từ một điểm bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện , vẽ các tia tương ứng thuộc và vuông góc với a. Góc được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc không phụ thuộc vào vị trí của trên , được gọi là số đo của góc nhị diện .

Chú ý: 

+ Số đo góc nhị diện có thể nhận giá tị từ đến Góc nhị diện được gọi là vuông , nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn .

+ Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng

Kí hiệu là góc nhị diện có cạnh và các mặt tương ứng chứa M, N.

+ Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. 

Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Ví dụ 4 (SGK-tr.48)

Luyện tập 4

a) là một góc phẳng nhị diện ].

b)

.

Vận dụng 1

+) Gọi lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh của. 

+) Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến (qua ) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

+) Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên

  vuông góc với đường kính khung cửa. 

OJ vuông góc với đường kính cánh cửa.

là một góc phẳng nhị diện của nhị diện có hạnh cạnh tương ứng chứa cánh và khung cửa.

+) Ta có nên . 

Vậy cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó . 

Mặt khác , suy ra tam giác đều và . 

Vậy để khoảng cách giữa đường kính cánh của và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và khung của có số đo là   

*) Kinh độ và vĩ độ

- Hình ảnh các kinh tuyến và vĩ tuyến

- Kinh độ của điểm P trên Trái Đất là: số đo của góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua  P (cạnh của góc nhị diện này là trục Trái Đất).

- Vĩ độ của điểm P trên Trái Đất là: số đo của góc giữa mặt phẳng chứa đường xích đạo và đường thẳng nối P với tâm Trái Đất.

Vĩ độ phi và Kinh độ lambda

- Mỗi điểm trên Trái Đất sẽ thuộc một trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và thuộc nửa Đông hay nửa Tây.

Ví dụ: Bia Chủ quyền đảo Song Tử Tây có vị trí:

video giới thiệu về kinh độ, vĩ độ

(chú thích: latitude- vĩ độ, longitude – kinh độ).

Câu 1. Cho hai mặt phẳng và , là một đường thẳng nằm trên. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu với thì .     

B. Nếu thì

C. Nếu cắt thì cắt.          

D. Nếu thì .

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.

B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.

C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Câu 3. Cho tứ diện có và . Gọi là trung điểm của . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng và là .

B. Góc giữa hai mặt phẳng và là .

C. .

D. .

Câu 4. Cho hình lập phương có cạnh bằng. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tam giác là tam giác đều.

B. Nếu là góc giữa   và thì .

C. là hình chữ nhật có diện tích bằng .

D. Hai mặt và ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Câu 5. Cho hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với đáy , tam giác vuông cân ở và có đường cao . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. .              

B. .

C. .            

D. Góc giữa và là góc .

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK

Bài 7.16.

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..