BÀI 25. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC (24 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hai mặt phẳng  và  song song với nhau và một điểm  không thuộc  và . Qua  có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  và ?

Đáp án:

Qua  dựng đường thẳng  vuông cóc với  và . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh  thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 2: Hình hộp  là hình hộp gì nếu tứ diện  có các cạnh đối vuông góc?

Đáp án:

Ta có  suy ra Hình hộp  là hình lập phương.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác , có đáy  là hình thoi tâm  cạnh bằng  và góc , cạnh  và  vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác  kẻ  tại . Tính số đo góc .

Đáp án:

Ta có  ; .

với  là hình chiếu của  lên ,  là hình chiếu của  lên .

Bài 4: Cho tứ diện đều . Góc giữa  và  bằng . Tính .

Đáp án:

Đặt . Gọi  là trung điểm của .

Tam giác  đều cạnh  nên  và .

Tam giác  đều nên  và .

Do đó, .

Tam giác  có .

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Đáp án:

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng  là  có đường cao .

Ta có: . Gọi  là trung điểm .

Dễ chứng minh được  và  .

Từ giả thiết suy ra  là tam giác đều cạnh  có  là đường trung tuyến .

.

2. THÔNG HIỂU (7 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp  có hai mặt bên  và  vuông góc với mặt phẳng , tam giác  vuông cân ở  và có đường cao  . Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên . Chứng minh .

Đáp án:

Ta có .

.

Mặt khác,  nên .

Bài 2: Cho hình chóp  có đáy là hình thoi tâm  cạnh  và có góc . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đáy  và . Gọi  là trung điểm  và  là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng  và  là?

Đáp án:

 đều nên . Mặt khác  (1).

Do  (2).

Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và  bằng

Bài 3: Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi cạnh  và có . Góc giữa hai mặt phẳng  và  bằng?

Đáp án:

Gọi  là chân đường vuông góc của  xuống mặt phẳng đáy  ()

 Þ các hình chiếu:  Þ là tâm đường tròn

Mà tam giác  cân tại  (vì ) Þ tâm  phải nằm trên  Þ 

Vậy có

 nên góc .

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều , có đáy  là hình vuông tâm . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng . Gọi  là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng  và  bằng?

Đáp án:

Gọi  là trung điểm . Có  ;

. Do đó

Bài 5: Cho hình chóp  có  và , gọi  là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng  và  là góc nào?

Đáp án:

Ta có:  

.

Bài 6: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông tâm . Biết ,  và đường tròn ngoại tiếp  có bán kính bằng . Gọi  là góc hợp bởi mặt bên  với đáy. Khi đó

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của .

Khi đó

.

Ta có: .

.

Bài 7: Trong không gian cho tam giác đều  và hình vuông  cạnh  nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi ,  lần lượt là trung điểm của , . Ta có  của góc tạo bởi hai mặt phẳng  và  bằng?

Đáp án:

Ta có:

Gọi  với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì  là trung điểm của   (vì )

 (theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó:  là góc giữa  và  

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét  vuông tại có: .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương . Tính góc  là góc giữa hai mặt phẳng  và .

Đáp án:

 là góc giữa hai mặt phẳng  và  là  

Ta có  

Bài 2: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của  khi đó  

Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng  

Ta có  

Trong tam giác  có :

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều  có. Tính cos góc giữa  và  .

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều  là . Gọi  là trung điểm của  ta có  (vì tam giác  đều) và  (vì tam giác  đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng  và  chính là góc .

Ta có :  (đường chéo hình vuông),  (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc  trong tam giác  ta có :

Bài 4: Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi cạnh  và góc . Các cạnh  đều bằng . Gọi  là góc của hai mặt phẳng  và . Giá trị  bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Do  và  nên tam giác  đều.

Gọi  là hình chiếu của  lên .

Do  nên  là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác .

Ta có:
.

Mặt khác, ,  

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật  có ,. Gọi  là góc giữa đường chéo  và đáy. Tính .

Đáp án:

Từ giả thiết ta suy ra:  là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác  vuông tại  ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại  ta có:

.

4. VẬN DỤNG CAO (7 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều  có cạnh đáy bằng  và đường cao bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

Đáp án:

+ Vì  và  hay   là hình chiếu vuông góc của  lên   .

+ Gọi ,  lần lượt là trung điểm của , .

Vì  là tam giác đều cạnh  nên dễ tính được : .

Từ giả thiết suy ra  là trọng tậm .

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại  ta có:

.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng  và chiều cao bằng . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Đáp án:

Giả sử hình chóp đã cho là  có đường cao .

Ta có: .

Gọi  là trung điểm của   dễ chứng minh được  và .

 .

Mặt khác:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại , ta có :

.

Bài 3: Tính của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.

Đáp án:

Giả sử tứ diện đều đã cho là  có cạnh .

Ta có: .

Gọi  là trung điểm . Khi đó dễ dàng chứng minh được  và .

.

Ta dễ tính được: .

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác  ta có:

.

Bài 4: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh . Cạnh bên  vuông góc với đáy và . Góc giữa hai mặt phẳng  và  bằng bao nhiêu?

Đáp án:
Ta có:  (vì )

Trong mặt phẳng , kẻ  thì ta có  

Khi đó  

Trong tam giác , kẻ đường cao  thì

Mà  là trung điểm  và  nên  

Tam giác  vuông tại  có  

Vậy hai mặt phẳng  và  hợp với nhau một góc .

Bài 5: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh . , . Xác định  để hai mặt phẳng  và  tạo với nhau góc .

Đáp án:

Trong  dựng  ta chứng minh được  (1)

Trong  dựng  ta chứng minh được  (2)

Từ (1) và (2) Þgóc

* Ta chứng minh được . Do đó, nếu góc  thì  đều Þ

 vuông tại  có  là đường cao

Þ Þ (3)

Và có  Þ (4)

Ta chứng minh được  Þ Þ  (5)

Thế (3) và (5) vào  Þ Û Û Û Û

Bài 6: Cho hình chóp  có đáy là hình thoi tâm  Biết  và đường tròn nội tiếp  có bán kính bằng  Tính góc hợp bởi mỗi mặt bên với đáy.

Đáp án:

Ta có  và  lần lượt vuông góc với

Theo định lí ba đường vuông góc ta có  

Từ đó suy ra  

Xét tam giác  vuông tại  ta có  

Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau và bằng  

Bài 7: Cho góc tam diện Sxyz với , , . Trên các tia , ,  lần lượt lấy các điểm  sao cho . Góc giữa hai mặt phẳng  và  bằng?

Đáp án:

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác , ta có

Tam giác  vuông cân tại  nên  ; tam giác  đều nên .

Vì  nên tam giác  vuông tại  

Gọi  là trung điểm  thì ta có

Mà  nên

Vậy