Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 5 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

CHƯƠNG V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 2. HOÁN VỊ. CHỈNH HỢP

I. HOÁN VỊ 

1. Định nghĩa 

HĐ1:

Ba cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ trên là:

- Cách 1: An, Bình, Cường, Dũng, Hải

- Cách 2: An, Bình, Cường, Hải, Dũng

- Cách 3: An, Bình, Hải, Cường, Dũng

Kết luận:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈N*).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 

Ví dụ 1 (SGK – tr11)

2. Số các hoán vị

HĐ2:

1. Có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ nhất.
2. Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất thì còn lại 2 nhóm, vì vậy có 2 cách để chọn nhóm trình bày thứ hai.
3. Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai thì còn lại một nhóm duy nhất nên ta có 1 cách chọn nhóm trình bày thứ ba. 
4. Áp dụng quy tắc nhân, ta có số hoán vị được tạo ra là: 3. 2. 1 = 6 (hoán vị).

Kết luận:

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n(n – 1). … . 2 . 1.

Quy ước:

Tích 1 . 2 . … . n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1 . 2 . … .n. Như vật Pn = n!

Ví dụ 2 (SGK – tr12) 

Luyện tập 1:

Một số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của sáu chữ số này.

Vậy số các số phải tìm là: P6 = 6! = 720 (số).

II. CHỈNH HỢP 

1. Định nghĩa

HĐ3:

Có thể tạo được 6 vectơ theo yêu cầu đó là: AB, BA, AC, CA, BC, CB 

HĐ4:

- Kết quả 1: Chọn 2 nhóm A và B rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, B trình bày sau hoặc ngược lại.

- Kết quả 2: Chọn 2 nhóm A và C rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, C trình bày sau hoặc ngược lại. 

- Kết quả 3: Chọn 2 nhóm A và D rồi sắp xếp thứ tự A trình bày trước, D trình bày sau hoặc ngược lại. 

- Kết quả 4: Chọn 2 nhóm B và C rồi sắp xếp thứ tự B trình bày trước, C trình bày sau hoặc ngược lại. 

Kết luận: 

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 k n.

Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 

Ví dụ 3 (SGK – tr13)

2. Số các chỉnh hợp

HĐ5:

1. Có 5 cách chọn nhóm trình bày thứ nhất.
2. Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có 4 cách để chọn nhóm trình bày thứ hai.
3. Sau khi đã chọn hai nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ ba.
4. Áp dụng quy tắc nhân, ta có số chỉnh hợp được tạo ra là: 5 . 4 . 3 = 60. 

Kết luận:

Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n) 

Ta có: Ank = n(n – 1)…(n – k +1).

Nhận xét:

Ank = Pn n N*.

Ví dụ 4 (SGK – tr13) 

Luyện tập 2:

Mỗi cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ là một chỉnh hợp chập 5 của 11. 

Vậy ta có A115 = 55 440 cách chọn ra 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ. 

HĐ6

Ví dụ 5 (SGK – tr14)