Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.

Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối tượng đã cho và giới hạn dãy số, từ đó nhận biết giới hạn dãy số, giải thích một số giới hạn, tính giới hạn của dãy.
Mô hình hóa toán học: Mô tả được các dữ liệu liên quan đến yêu cầu trong thực tiễn để lựa chọn các đối tượng liên quan đến giới hạn của dãy số.
Giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học.
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Về phẩm chất:

Có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc lập, tự tin và tự chủ.
Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.

- Học sinh: Vở, nháp, bút.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.
b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.
c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.
d) Tổ chức hoạt động:

- GV đặt câu hỏi:

+ Cho và , hãy tính ; .

+ Nêu công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là và công bội là q.

- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “Giới hạn dãy số”.

HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC
a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng giải toán một cách dễ dàng.
b. Nội dung hoạt động: HS suy nghĩ, trả lời câu hỏi.
c. Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS
d. Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Giới hạn dãy số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi hoặc

Ví dụ: dãy số có giới hạn là 0 là dãy

Chú ý:

+ với k là một số nguyên dương.

+ nếu

- Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu a hay a khi .

Ví dụ

Chú ý: Nếu (hằng số) thì

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

- Nếu và thì

nếu

- Nếu với mọi và thì

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn có công bội với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ: xét tổng S =

Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với .

Vậy

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

- Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu , kí hiệu hay khi .

- Nhận xét:

với k là số nguyên dương.

với

BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
a. Mục tiêu: HS biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “Giới hạn dãy số” thông qua các phiếu bài tập.
b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập
c. Sản phẩm học tập: Kết quả thực hiện của HS.
d. Tổ chức thực hiện:

Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn của dãy số

Phương pháp giải:

- Chứng minh dãy số giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa:

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim hay khi .

Chú ý:

+ với k là một số nguyên dương.

+ nếu

+ Nếu với và thì

- Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn bằng định nghĩa: ta chứng minh .

- Mở rộng:

+ Nếu với và thì

+ Định lí: Cho ba dãy số và . Nếu và thì .

Bài 1. Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn là 0.

a) b)

c) d)

Bài 2. Chứng minh: